Limes Superior u symm. Diff. < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] (A_{n}), (B_{n}) \subset [/mm] X, A = [mm] \underline{\limes_{n\rightarrow\infty}} A_{n}, [/mm] B = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} A_{n}, [/mm] C [mm] \subset [/mm] X.
Zeigen Sie, dass dann gilt:
[mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} A_{n} [/mm] \ [mm] \underline{\limes_{n\rightarrow\infty}} A_{n} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} (A_{n} \Delta A_{n+1}) [/mm] |
Hallo liebe Mathefreunde,
ich arbeite zur Zeit wiederholend das Buch Maß-und Integrationstheorie von Elstrodt durch, aus dem diese Aufgabe stammt. Leider komme ich damit nicht zurecht, ich kann es zwar bis hierhin auflösen:
[mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_{k} [/mm] \ [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_{k} [/mm] soll gleich sein zu [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} (A_{k} \Delta A_{k+1}) [/mm] = [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} ((A_{k}\cup A_{k+1}) [/mm] \ [mm] (A_{k}\cap A_{k+1}))
[/mm]
aber dann ist schluss ^^".. wäre dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen kann, ob es vielleich irgendwelche Rechenregeln oder ähnliches dafür gibt, wie man da die Gleichheit elegant zeigen kann.
Ich nehme ja an, es gibt leider keine Lösungen zu dem Buch oder weiß da jemand was? (Ist nämlich sehr schade, weil da einige gute Aufgaben drin sind)
Viele Grüße und Danke im voraus !
Blacki
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Mi 30.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilf Dir das weiter:
$ x [mm] \in \underline{\limes_{n\rightarrow\infty}} A_{n} [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] $x [mm] \in A_n$ [/mm] für fast alle n.
$ x [mm] \in \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} A_{n} [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] $x [mm] \in A_n$ [/mm] für unendlich viele n.
FRED
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Danke für deine Antwort! :) Aber leider hilft mir das nur bedingt weiter...
wenn ich das mit deinen Formulierungen notiere steht dann soetwas da wie:
"Die Menge, die alle diejenigen x enthält, die in unendlich vielen [mm] A_{n} [/mm] liegen aber nicht nur für fast alle n, ist gleich der Menge aller y, die in unendlichen vielen symmetrischen Differenzen [mm] A_{n} [/mm] und [mm] A_{n+1} [/mm] liegen."
Also beschreibt dass erste doch die Menge alle x, die nur in endlich vielen [mm] A_{n} [/mm] liegen oder?
Und die symmetrische Differenz beschreibt doch die x, die in einer der beiden Mengen liegt. Und dann soll bei lim sup dann diese x in unendlich vielen dieser symm. Differenzen stehen?
Komme damit irgendwie nicht zurecht.. Geschweige denn, das mathematisch zu formulieren.
Wäre für Hilfe sehr dankbar!^^
Viele Grüße.
Blackwolf
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Sa 02.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Blackwolf,
> wenn ich das mit deinen Formulierungen notiere steht dann
> soetwas da wie:
>
> "Die Menge, die alle diejenigen x enthält, die in
> unendlich vielen [mm]A_{n}[/mm] liegen aber nicht nur für fast alle n,
"Die Menge aller x, die für unendlich viele [mm] $n\in\IN$, [/mm] aber nicht für fast alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] in [mm] $A_n$ [/mm] liegen."
Mit anderen Worten: "Die Menge aller x, die für unendlich viele [mm] $n\in\IN$ [/mm] in [mm] $A_n$ [/mm] liegen und gleichzeitig für unendlich viele [mm] $n\in\IN$ [/mm] nicht in [mm] $A_n$ [/mm] liegen."
> ist gleich der Menge aller y, die in unendlichen vielen
> symmetrischen Differenzen [mm]A_{n}[/mm] und [mm]A_{n+1}[/mm] liegen."
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also beschreibt dass erste doch die Menge alle x, die nur
> in endlich vielen [mm]A_{n}[/mm] liegen oder?
Nein.
Viele Grüße
Tobias
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