Limes Berechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Do 21.03.2013 | | Autor: | Bstealth |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
[mm] f(x):=(1/4)*(4x+3)*(2x-1)-(1/2)e^x
[/mm]
Berechnen sie f(0), f(1), [mm] \limes_{x\rightarrow\ -infty}f(x), \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] |
f(0), f(1), [mm] limes_{x\rightarrow\ -infty}f(x) [/mm] sind ja kein Problem.
f(0)= -(5/4)
f(1)= (7/4)-(1/2)e
[mm] limes_{x\rightarrow\ -infty}f(x)= x^2(2+(1/2x)+(3/4x^2) \to \infty
[/mm]
da [mm] e^x [/mm] für [mm] x\to [/mm] -infty gegen 0 geht.
Aber wie zeigt man, dass für [mm] x\to \infty?
[/mm]
[mm] x^2(2+(1/2x)+(3/4x^2) [/mm] geht ja [mm] \to \infty [/mm] und [mm] -(1/2)e^x [/mm] geht [mm] \to [/mm] -infty.
Wie zeigt man das [mm] -(1/2)e^x [/mm] schneller [mm] \to [/mm] -infty läuft als [mm] x^2(2+(1/2x)+(3/4x^2) \to \infty
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Do 21.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
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> [mm]f(x):=(1/4)*(4x+3)*(2x-1)-(1/2)e^x[/mm]
> Berechnen sie f(0), f(1), [mm]\limes_{x\rightarrow\ -infty}f(x), \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm]
>
> f(0), f(1), [mm]limes_{x\rightarrow\ -infty}f(x)[/mm] sind ja kein
> Problem.
>
> f(0)= -(5/4)
> f(1)= (7/4)-(1/2)e
> [mm]limes_{x\rightarrow\ -infty}f(x)= x^2(2+(1/2x)+(3/4x^2) \to \infty[/mm]
>
> da [mm]e^x[/mm] für [mm]x\to[/mm] -infty gegen 0 geht.
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> Aber wie zeigt man, dass für [mm]x\to \infty?[/mm]
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> [mm]x^2(2+(1/2x)+(3/4x^2)[/mm] geht ja [mm]\to \infty[/mm] und [mm]-(1/2)e^x[/mm] geht
> [mm]\to[/mm] -infty.
> Wie zeigt man das [mm]-(1/2)e^x[/mm] schneller [mm]\to[/mm] -infty läuft
> als [mm]x^2(2+(1/2x)+(3/4x^2) \to \infty[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ist p ein Polynom, so gilt
[mm] \bruch{p(x)}{e^x} \to [/mm] 0 für x [mm] \to \infty.
[/mm]
Beweisen kan man das, indem man zeigt:
(*) [mm] \bruch{x^n}{e^x} \to [/mm] 0 für x [mm] \to \infty [/mm] für jedes n [mm] \in \IN_0.
[/mm]
(*) zeigt man mit der Reihenentwicklung von [mm] e^x:
[/mm]
Für positive x ist
[mm] e^x >\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}.
[/mm]
Es folgt:
[mm] 0<\bruch{x^n}{e^x}<\bruch{(n+1)!}{x} [/mm] für x >0.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Do 21.03.2013 | | Autor: | Bstealth |
Danke für die schnelle Antwort. ;)
Okay wenn ich das jetzt richtig verstanden habe. Geht es darum zu zeigen, dass das Polynom geteilt durch die Exponentialfunktion gegen 0 kovergiert.
Dafür nimmt man die Reihenentwicklung der Exponentialreihe und deren Konvergenzradius zur hilfe.
Die Reihenentwicklung lautet ja [mm] e^x=\summe_{k=1}^{n} \bruch{x^k}{k!} [/mm] und diese ist ja > als nur das (n+1)-te Element allein.
Deswegen kann man sagen, dass $ [mm] e^x >\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}. [/mm] $
Reicht das nicht schon? Wozu die Umschreibung mit $ [mm] 0<\bruch{x^n}{e^x}<\bruch{(n+1)!}{x} [/mm] $ für x >0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Do 21.03.2013 | | Autor: | Helbig |
> Danke für die schnelle Antwort. ;)
> Okay wenn ich das jetzt richtig verstanden habe. Geht es
> darum zu zeigen, dass das Polynom geteilt durch die
> Exponentialfunktion gegen 0 kovergiert.
>
> Dafür nimmt man die Reihenentwicklung der Exponentialreihe
> und deren Konvergenzradius zur hilfe.
>
> Die Reihenentwicklung lautet ja [mm]e^x=\summe_{k=1}^{n} \bruch{x^k}{k!}[/mm]
> und diese ist ja > als nur das (n+1)-te Element allein.
>
> Deswegen kann man sagen, dass [mm]e^x >\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}.[/mm]
>
> Reicht das nicht schon?
Mir würde das nicht als Begründung für [mm] $\frac {x^n} {e^x} \to [/mm] 0$ ausreichen. Daher die Umschreibungen:
> Wozu die Umschreibung mit
> [mm]0<\bruch{x^n}{e^x}<\bruch{(n+1)!}{x}[/mm] für x >0.
Aus diesen beiden Ungleichungen und [mm] $\frac [/mm] {(n+1)!} { x } [mm] \to [/mm] 0$ folgt dann mit dem Einschließungssatz die Behauptung.
Gruß,
Wolfgang
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