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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Do 09.12.2004 | | Autor: | SERIF |
Hallo zusammen. Grüß Gott. Nach der zeit verstehe ich auch den Konvergenzbegriff. Aber ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann. Ich möchte bitte für diese Aufgabe eine Lösung mit Lösungsweg, Wenn es geht Einzeln erklärt. Ich weiß, dass Matheraum nicht hier ist, für die Aufgaben zu lösen. Aber ich verstehe so besser, Dann kann ich so eine ähnliche Aufgabe selber lösen. Jettz gehts los::::
Aufgabe: Seien p,k [mm] \in \IN_{0} [/mm] vorgegeben. Bestimmen Sie
[mm] \IR^{dach} \limes_{n\rightarrow\infty} n^{k}/ \vektor{n \\ p}
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ p} [/mm] ist ja wie n!/p!(n-p)! oder?? Und wie geht es weiter
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Hallo, SERIF,
was bedeutet [mm] $\hat{ \IR}$ [/mm] ( Dein Rdach ) ?
für den Binomialkoeffizienten würde ich eher die form n*(n-1)*...(n-p+1)/p! nehmen
k ist dann der Grad des Zählerplinoms( in n), p der des Nennerpolynoms, p! kommt als Konstanter Faktor vor das ganze.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Mo 13.12.2004 | | Autor: | SERIF |
Hallo. Sorry aber das war nicht sio hilfreich für mich. kannst du bitte zeigen noch mal wei man disie Aufgabe löst. Ich muss noch andere ähnliche Aufgaben lösen. DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Serif,
dann werden wir mal beginnen:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{\vektor{n \\ p}}$
[/mm]
Gemäß Tipp von Friedrich Laher schreiben wir für
[mm] $\vektor{n \\ p} [/mm] = [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-p+1)}{p!}$.
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{\vektor{n \\ p}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k * p!}{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-p+1)}$
[/mm]
$= p! * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-p+1)}$
[/mm]
Im Zähler befinden sich immer genau k Faktoren, im Nenner immer p Faktoren.
Du mußt nun eine Fallunterscheidung machen, und kannst damit die entsprechenden Grenzwerte ermitteln:
1. p > k
2. p = k
3. p < k.
Kommst Du nun alleine weiter?
Grüße Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mo 13.12.2004 | | Autor: | SERIF |
Hallo Loddar. Danke erstmal für deine Hilfe. Ich sehe solche Aufgabe zuersten Mal. Daher wäre es echt cool, wenn du die Fall unterscheidungen auch zeigst.
Was bekomme ich als ergebnis?? DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Di 14.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Moin Serif,
wir haben also:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{\vektor{n \\ p}} [/mm] = p! * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-p+1)}$
[/mm]
Im Nenner klammern wir nun aus jedem der Faktoren n aus.
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{\vektor{n \\ p}} [/mm] = p! * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{[n*1]*[n*(1-\bruch{1}{n})]*[n*(1-\bruch{2}{n})]*...*[n*(1-\bruch{p-1}{n})]}$
[/mm]
Wie oben bereits erwähnt, haben wir im Nenner exakt p Faktoren. Wir können also die ausgeklammerten n zusammenfassen zu [mm] $n^p$:
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{\vektor{n \\ p}} [/mm] = p! * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{n^p*1*(1-\bruch{1}{n})*(1-\bruch{2}{n})*...*(1-\bruch{p-1}{n})}$
[/mm]
Nun trennen wir den großen Bruch etwas auf:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{\vektor{n \\ p}} [/mm] = p! * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n^k}{n^p} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1*(1-\bruch{1}{n})*(1-\bruch{2}{n})*...*(1-\bruch{p-1}{n})})$
[/mm]
Wenn für einzelne Faktoren eines Produktes Grenzwerte existieren, dürfen wir die Grenzwert auch einzeln ermitteln und anschließend wieder multiplizieren:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{\vektor{n \\ p}} [/mm] = p! * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{n^p} [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1*(1-\bruch{1}{n})*(1-\bruch{2}{n})*...*(1-\bruch{p-1}{n})}$
[/mm]
Betrachten wir uns den rechten Grenzwert / Bruch genauer:
Für jeden einzelnen Faktor im Nenner gilt doch:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 - [mm] \bruch{a}{n}) [/mm] = 1 - 0 = 1$ (a = const.)
Daraus folgt der Grenzwert für den gesamten rechten Bruch:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1*1*...*1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1^p} [/mm] = 1$
Dies setzen wir oben ein und erhalten:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{\vektor{n \\ p}} [/mm] = p! * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{n^p} [/mm] * 1 = p! * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^{k-p}$
[/mm]
Nun kommen wir (endlich) zu unserer Fallunterscheidung:
1. $k > p [mm] \gdw [/mm] k-p > 0$
Es gilt: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} n^{k-p} [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Für unseren Gesamtgrenzwert bedeutet das:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{\vektor{n \\ p}} [/mm] = p! * [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
2. $k = p [mm] \gdw [/mm] k-p = 0$
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} n^{k-p} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^0 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1 = 1$
Für unseren Gesamtgrenzwert bedeutet das:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{\vektor{n \\ p}} [/mm] = p! * 1 = p!$
3. $k > p [mm] \gdw [/mm] k-p = -(p-k) < 0 [mm] \gdw [/mm] p-k > 0$
Hier gilt: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} n^{k-p} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^{-(p-k)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{p-k}} [/mm] = 0$
Für unseren Gesamtgrenzwert bedeutet das:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^k}{\vektor{n \\ p}} [/mm] = p! * 0 = 0$
Der Ausdruck p! ist für alle Fälle ja immer konstant, deshalb haben wir ihn ja auch ziemlich zu Anfang außerhalb des Limes-Zeichens schreiben dürfen ...
Ich hoffe, mit dieser ziemlich ausführlichen Lösung kommst Du nun klar (auch für andere Aufgaben).
Grüße Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Loddar |
siehe Antwort / Ansätz unten!
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