Limes < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Fr 14.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Es sei f: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] durch [mm] f(x):=x^3 [/mm] definiert, und es bezeichne
[mm] Z_n:= [/mm] { [mm] {\bruch{k}{2^n}|1 \le k < 2^n} [/mm] }.
Berechnen Sie den Limes : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] O [mm] (Z_n,f) [/mm] der Obersummen. |
Hallo,
zu der Aufgabe habe ich folgende Fragen:
1. [mm] Z_n [/mm] ist eine Zahlenfolge, deren Bildungsgesetz gegeben ist.
2. Ferner ist noch von einer Funktion f(x )= [mm] x^3 [/mm] die Rede.
3.Und nun der Knaller: Ich soll den Grenzwert von der Obersumme O bilden, mit der mathematischen Beschreibung: O [mm] (Z_n,f)!!!
[/mm]
4. Was ist die Obersumme O (O wie bei Orthogonalmatrix)
Bin für jeden Tipp bzw. lösungsansatz sehr dankbar.
Besten Dank im Voraus.
Gruß
didi_160
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Fr 14.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schau doir doch mal die Herleitung des Integrales an, wie ihr sie wahrscheinlich in der Schule gelernt habt.
Da ist nämlich auch von Ober- bzw. Untersummen die Rede.
Das ganze ist nämlich die Folge der Rechtecke, mit deren Hilfe man die Integralrechnung einführt.
Marius
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Hallo,
danke für den Tipp,
Das Interal wurde als Grenzwert einer Summe aus endlichen Flächen mit der Breite Delta x eingeführt. In eimem Fall war die zu berechnende FIntegralfäche durch die verwendeten Rechtecke zu groß, im anderen zu klein.Damit weiß ich was die Obersumme ist.
Aber mit dem Rest kann ich noch nicht viel anfangen. Ich kann in O nicht erkennen das damit ein Rechteck beschrieben wird. Wie soll dasgehen?
Gruß didi_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Sa 15.07.2006 | | Autor: | taura |
Hallo didi!
Mal als Anstoß: Folgendermaßen sieht die Menge [mm] $Z_n$ [/mm] für $n=1,2,3\ $ aus:
[mm] $Z_1=\left\{\br{1}{2}\right\}$
[/mm]
[mm] $Z_2=\left\{\br{1}{4}, \br{2}{4}, \br{3}{4}\right\}$
[/mm]
[mm] $Z_3=\left\{\br{1}{8}, \br{2}{8}, \br{3}{8},\br{4}{8}, \br{5}{8}, \br{6}{8},\br{7}{8}\right\}$
[/mm]
Über diesen Mengen sollst du nun die Obersummen bilden, das heißt die Elemente der Mengen sollen die jeweiligen Randpunkte deiner Recktecke sein. (Anders gesagt: Die Breite [mm] $\delta$ [/mm] der Rechtecke ist jeweils [mm] $\br{1}{2^n}$)
[/mm]
Und dann sollste du diese Obersummen betrachten, wenn n gegen unendlich geht.
Ich hoffe das hilft dir weiter.
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mo 17.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Danke für deinen Tipp,
ich habe das Anliegen der Aufgabe jetzt erst mal verstanden.
Aber mit den Beweis bin ich überfordert. Kannst du mir mal den Anfang aufschreiben?
Besten Dank im Voraus.
Gruß
didi_160
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Hallo Didi_160,
Der Anfang wäre wohl nachzuschauen wie ihr [mm] O(Z_n,f) [/mm] definiert habt. Das kannst Du ja mal machen und dann hier reinschreiben. Alternativ kannst Du natürlich auch ![[]](/images/popup.gif) hier nachsehen. Punkt 2 wäre dann sich zu überlegen wo denn das supremum von f angenommen wird in den entsprechenden Teilintervallen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mo 17.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
besten Dank für deinen Beitrag.
Du fragst wie die Obersumme in der Vorlesung definiert wurde:
[mm] O(Z_n,f)= \summe_{j=0}^{k}(Z_{j+1}-Z_j)*sup(f|[Z_j,Z_j_+_1])
[/mm]
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Die Differenz [mm] (Z_{j+1}-Z_j) [/mm] kann nur die Rechteckhöhe sein.
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Das Supremium [mm] sup(f|[Z_j,Z_j_+_1]) [/mm] kann ja nur die Rechteckbreite sein.
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Sind 0,1 die Integrationsgrenzen bei bestimmter Integration?
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Welche Rolle spielt denn die Funktion f(x)= [mm] x^3 [/mm] noch??
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Was ist mit [mm] "...\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (der Obersumme).." gemeint??
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Wer hilft mir die Aufgabe zu verstehen???
Besten Dank im Voraus.
Gruß didi_160
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Hallo Didi_160,
> Du fragst wie die Obersumme in der Vorlesung definiert
> wurde:
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> [mm]O(Z_n,f)= \summe_{j=0}^{k}(Z_{j+1}-Z_j)*sup(f|[Z_j,Z_j_+_1])[/mm]
>
> ________________________________________________
> Die Differenz [mm](Z_{j+1}-Z_j)[/mm] kann nur die Rechteckhöhe
> sein.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die [mm] Z_i [/mm] zerlegen das Intervall.
______________________________________________
> Das Supremium [mm]sup(f|[Z_j,Z_j_+_1])[/mm] kann ja nur die
> Rechteckbreite sein.
>
Hier soll das Supremum über die Funktionswerte im entsprechenden Intervall gefunden werden.
________________________________________________
>
> Sind 0,1 die Integrationsgrenzen bei bestimmter
> Integration?
Ja aber die kommen bei Deiner Aufgabe gar nicht vor.
>
> Welche Rolle spielt denn die Funktion f(x)= [mm]x^3[/mm] noch??
Siehe oben.
> ______________________________________________
> Was ist mit [mm]"...\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (der
> Obersumme).." gemeint??
Erstmal die Summe ausrechnen dann kannst Du Dich um den Grenzwert kümmern.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo,
besten Dank für deine Antwort.
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> Die Differenz [mm](Z_{j+1}-Z_j)[/mm] kann nur die Rechteck Breite
> sein.
Ich entschuldige mich für den trivialen Fehler.
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> Das Supremium [mm]sup(f|[Z_j,Z_j_+_1])[/mm] kann ja nur die
> Rechteck Höhe sein.
Ich entschuldige mich für den trivialen Fehler.
________________________________________________
> Hier soll das Supremum über die Funktionswerte im
> entsprechenden Intervall gefunden werden.
Das verstehe ich nicht. Wie finde ich das Supremum über die Funktionswerte von f(x) [mm] =x^3 [/mm] im Interval [mm] (Z_{j+1}-Z_j) [/mm] ?? Kannst du bitte das mal aufschreiben?
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> Erstmal die Summe ausrechnen, dann kannst Du Dich um den
> Grenzwert kümmern.
Welche Form haben die Summanden im Detail? Jeder Summand kann doch nur den Wert einer endlichen Fläche mit der Breite [mm] (Z_j_+_1 -Z_j) [/mm] und der Höhe [mm] sup(f|[Z_j,Z_j_+_1]) [/mm] sein.
Die Summe selbst enthält dann Summanden, die bis zur Summationsobergrenze [mm] 2^n [/mm] aufzusummieren sind. Das Aussehen der Summe hängt vom [mm] sup(f|[Z_j,Z_j_+_1]) [/mm] ab, um das ich dich bat.
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Und zum Schluß ist noch der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] über diese Summe zu bilden. Aber ich muß bis hierher ertmal Land sehen!
Würdest du mir die fehlenden "Bausteine " bitte aufschreiben?
viele Grüße
didi_160
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 20.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:31 Di 18.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
ich weiß über das Supremum einer Menge: Es ist die kleinste obere Schranke der Menge, d.h. es ist eine obere Schranke und jede andere obere Schranke der Menge ist größer.
Auf die Funktion [mm] f(x)=x^3 [/mm] angewendet besteht die Aufagbe darin, die kleinste obere Schranke von f(x) zu finden. Oder????
Ich habe auch den Kurvenverlauf von [mm] f(x)=x^3 [/mm] vor Augen.
Aber wie soll ich das mit den Intervallen [mm] (Z_j_+_1 [/mm] - [mm] Z_j) [/mm] machen?
Wer hat einen Lösungsansatz für mich??
Besten Dank im Voraus und viele Grüße
didi_160
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mi 19.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
muß mich noch einmal wegen der Aufgabe melden. Ich weiß:
1. Das Intervall [0,1] wird in Abhänigkeit von n in gleich große Intervalle unterteilt.
n=1-> [mm] Z_1 [/mm] = { [mm] \bruch{1}{2} [/mm] }
n=2 -> [mm] Z_2= [/mm] { [mm] \bruch{1}{4}, \bruch{2}{4}, \bruch{3}{4} [/mm] } .
...
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2. Die Obersumme von f(x)= x ^3 wird gebildet nach:
[mm] O(Z_n,f)= \summe_{j=}^{k}(Z_j_+_1-Z_j)*sup(f|Z_j,Z_j_+_1)
[/mm]
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3. z.B. [mm] O(Z_1,f)= \bruch{1}{2}*[ (\bruch{1}{2})^3+ (\bruch{2}{2})^3]
[/mm]
z.B. [mm] O(Z_3,f)= \bruch{1}{8}*[ (\bruch{1}{8})^3+ (\bruch{2}{8})^3+(\bruch{3}{8})^3+(\bruch{4}{8})^3+(\bruch{5}{8})^3+(\bruch{6}{8})^3+(\bruch{7}{8})^3+(\bruch{8}{8})^3]
[/mm]
Wenn ich mich nicht verrechnet habe ist das soweit klar!
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4. Jetzt muß diese Entwicklung bis [mm] O(Z_n,f) [/mm] fortgesetzt werden. Aber wie soll iich das allgemeingültig aufschreiben???
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5. Angenommen ich hätte [mm] O(Z_n,f), [/mm] dann muß von diesem Ausdruck noch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] gebildet werden. Wie der Grenzwert in allgemeingültiger bilden in allgemeingültiger Form zu bilden ist weiß ich auch nicht
Bin für jeden Tipp sehr dankbar.
Viele Grüße
didi_160
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Hi, didi,
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> 3. z.B. [mm]O(Z_1,f)= \bruch{1}{2}*[ (\bruch{1}{2})^3+ (\bruch{2}{2})^3][/mm]
>
> z.B. [mm]O(Z_3,f)= \bruch{1}{8}*[ (\bruch{1}{8})^3+ (\bruch{2}{8})^3+(\bruch{3}{8})^3+(\bruch{4}{8})^3+(\bruch{5}{8})^3+(\bruch{6}{8})^3+(\bruch{7}{8})^3+(\bruch{8}{8})^3][/mm]
>
> Wenn ich mich nicht verrechnet habe ist das soweit klar!
Und hier kannst Du noch - nach Ausklammern - schreiben:
[mm] (\bruch{1}{8})^{4}*[1 [/mm] + 8 + 27 + ... + [mm] 8^{3}] [/mm]
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> 4. Jetzt muß diese Entwicklung bis [mm]O(Z_n,f)[/mm] fortgesetzt
> werden. Aber wie soll iich das allgemeingültig
> aufschreiben???
Analog zu oben ergibt sich in der Klammer der Ausdruck
[1 + 8 + 27 + ... + [mm] (2^{n})^{3}],
[/mm]
den Du mit Hilfe der Potenzreihe
[mm] \summe_{i=1}^{m} i^{3} [/mm] = [mm] \bruch{m^{2}*(m+1)^{2}}{4}
[/mm]
in einen Bruchterm verwandeln kannst, der Dir den Grenzübergang n [mm] \to \infty [/mm] erleichtert.
mfG!
Zwerglein
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