Likelihood-Schätzer Varianz? < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Livia |
| Aufgabe | | Eine entstehende Messreihe soll als Realisierung von unabhängigen identisch N(1,θ)-verteilten Zufallsvariablen [mm] X_1,...,X_n [/mm] mit unbekannter Varianz θ>0 aufgefasst werden. Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer von [mm] T_n [/mm] für [mm]\gamma[/mm](θ) = θ. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich bei dieser Frage den ML-Schätzer von der Messreihe oder der Varianz ausrechnen soll. Ich habe es mal mit der Varianz versucht.
Meine Ausgangsformel
[mm]L(theta,x_1,...,x_n)=\wurzel{\pi\delta^2}^{-1}exp(\bruch{-(x_1-\mu)^2}{2\delta^2})*...*exp(\bruch{-(x_n-\mu)^2}{2\delta^2})[/mm]
Zusammengefasst
[mm]L(theta,x_1,...,x_n)=(\bruch{1}{\wurzel{\pi\delta^2}})^n \exp(\bruch{\summe_{i=1}^{n} x_i^2-2\summe_{i=1}^{n} x_i\mu+2n\mu^2}{2\delta^2})[/mm]
ln gesetzt
[mm]\ln L(theta,x_1,...,x_n)= -n\ln\wurzel{2\pi\delta}^2 \bruch{\summe_{i=1}^{n} x_i^2-2\summe_{i=1}^{n} x_i\mu+2n\mu^2}{2\delta^2}[/mm]
Abgeleitet
[mm]\ln L'(theta,x_1,...,x_n)=\bruch{n\summe_{i=1}^{n} x_i^2-2n\summe_{i=1}^{n} x_i\mu+n\mu^2}{(\wurzel{\pi2}\delta)^{2,5}}[/mm]
Null gesetzt
[mm]\summe_{i=1}^{n} x_i=1[/mm]
Ja, also keine Ahnung. Kann mit dem Ergebnis nichts anfangen. Hat jemand eine Idee, wo der oder die Fehler liegen? Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Mi 05.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin Livia,
zuenachst ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Schreib dir zunaechst einmal die Dichte auf, wie sie in der
Aufgabenstellung gegeben ist:
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}}\exp[-\frac{1}{2\theta}(x-1)^2]$
Man erhaelt so
$L(\theta,x_1,...,x_n)=\prod_{i=1}^n f(x_i)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\right)^n\theta^{-n/2}\exp[-\frac{1}{2\theta}\sum(x_i-1)^2]$
$\ln L(\theta,x_1,...,x_n)=\alpha-(n/2)\ln\theta-\frac{1}{2\theta}\sum(x_i-1)^2$
$\partial \ln L(\theta,x_1,...,x_n)/\partial\theta=-\frac{n}{2\theta}-\frac{1}{2\theta^2}\sum(x_i-1)^2$
usw.
lg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Livia |
Hallo,
ich hätte noch ein paar Fragen zu dieser Rechnung.
-[mm]\partial \ln L(\theta,x_1,...,x_n)/\partial\theta[/mm] Bedeutet das lediglich das nach [mm]\theta[/mm] abgeleitet wurde? Kenn mich mit partieller Differenzierung nicht so, sry.
-Die Ableitung von [mm]-\frac{1}{2\theta}[/mm] ergibt bei mir [mm]\frac{1}{2\theta^2}[/mm].
Wenn ich dann alles gleich 0 Setze kommt bei mir folgendes heraus:
[mm]\hat\theta=-\frac{\summe_{i=1}^{n}(x_i-1)^2}{n}[/mm]
Ist das nun der ML Schäzter Tn für [mm]t(\theta)=\theta[/mm] ? Hab leider die Aufgaben nicht so genau verstanden, welches Maximum nun genau gesucht wird...
Vielen Dank!
lg Livia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Livia |
Nun hab ich es verstanden :)
Bei der Ergebnis Formel kommt dann wohl noch das Minus weg (an die suizidgefährdeten Soziologen die mitlesen :) ).
Danke für die Hilfe.
lg
Livia
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
