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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Di 12.03.2013 | | Autor: | koa24 |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Teilraum [mm] U=LH\{\overrightarrow{a}_{1}, \overrightarrow{a}_{2}, \overrightarrow{a}_{3}\} [/mm] mit
[mm] \overrightarrow{a}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} \overrightarrow{a}_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -2} \overrightarrow{a}_{3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ -1}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Dimension von U; (bzw. Basis?)
b) Befindet sich [mm] \overrightarrow{a}_{Teddy} [/mm] in U?
[mm] \overrightarrow{a}_{Teddy} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 6} [/mm] |
Da das letztens hier wunderbar funktioniert hat
und meine Frage in paar Nanosekunden geklärt war
kommt hier meine ZWEITE!! ^^...
Bei der obigen Aufgabe hängt bei mir das Verständnis ein wenig~
Lösungsansatz:
a) Durch Gauß
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -3 & 6 \\ 0 & 0 & -9 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] dim U = Rang(A) = 3
Basis ist gleich der dim von U ?? ( Was zeigt/sagt mit die Basis bzw. wozu brauch ich Sie? )
b)
[mm] \overrightarrow{a}_{Teddy} \in [/mm] U , da die Vektoren linear unabhängig sind und den maximalen Raum aufspannen.
[mm] \gdw [/mm] Also [mm] \overrightarrow{a}_{Teddy} [/mm] ist 100% eine linear Kombination (bzw. abhängig von) aus den Vektoren? Right?
So wenn das alles stimmt kommt jetzt die eigentliche Frage:
Es ist mir ein anderes Trio gegeben:
[mm] \overrightarrow{a}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 8} \overrightarrow{a}_{2} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ -7} \overrightarrow{a}_{3} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ -3 \\ 21}
[/mm]
a)
Durch Gauß weiß ich: dim U = Rang(A) = 2
b)
Durch a) weiß ich nun das man zeigen muss das [mm] \overrightarrow{a}_{Teddy} \in [/mm] U liegt oder auch nicht. OK
Mein Versuch (Ist er Richtig bzw. geht das eleganter + schneller + universeller?):
Gauß:
[mm] \pmat{ 1 & 4 \\ -2 & 5 \\ 8 & -7 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 \\ 4 \\ 6 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 4 \\ 0 & 13 \\ 0 & -39 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 \\ 10 \\ -18 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 4 \\ 0 & 13 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 \\ 10 \\ 12 }
[/mm]
[mm] 13\*k_{2} [/mm] = 10
[mm] \gdw k_{2} [/mm] = [mm] \bruch{10}{13}
[/mm]
usw. [mm] k_{1} [/mm] = 23
[mm] k_{1} [/mm] und [mm] k_{2} [/mm] in [mm] 0\*k_{1}+0\*k_{2} [/mm] = 12
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \not= [/mm] 12 [mm] \Rightarrow \overrightarrow{a}_{Teddy} \not\in [/mm] U.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Gegeben ist ein Teilraum [mm]U=LH\{\overrightarrow{a}_{1}, \overrightarrow{a}_{2}, \overrightarrow{a}_{3}\}[/mm]
> mit
>
> [mm]\overrightarrow{a}_{1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2} \overrightarrow{a}_{2}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -2} \overrightarrow{a}_{3}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ -1}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Dimension von U; (bzw. Basis?)
> b) Befindet sich [mm]\overrightarrow{a}_{Teddy}[/mm] in U?
>
> [mm]\overrightarrow{a}_{Teddy}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 6}[/mm]
> Da das
> letztens hier wunderbar funktioniert hat
> und meine Frage in paar Nanosekunden geklärt war
> kommt hier meine ZWEITE!! ^^...
>
> Bei der obigen Aufgabe hängt bei mir das Verständnis ein
> wenig~
>
> Lösungsansatz:
>
> a) Durch Gauß
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -3 & 6 \\ 0 & 0 & -9 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim U = Rang(A) = 3
>
> Basis ist gleich der dim von U ?? ( Was zeigt/sagt mit die
> Basis bzw. wozu brauch ich Sie? )
Ja die Länge der Basis entspricht der Dimension des Vektorraums.
> b)
>
> [mm]\overrightarrow{a}_{Teddy} \in[/mm] U , da die Vektoren linear
> unabhängig sind und den maximalen Raum aufspannen.
> [mm]\gdw[/mm] Also [mm]\overrightarrow{a}_{Teddy}[/mm] ist 100% eine linear
> Kombination (bzw. abhängig von) aus den Vektoren? Right?
Ja Richtig.
> So wenn das alles stimmt kommt jetzt die eigentliche
> Frage:
>
> Es ist mir ein anderes Trio gegeben:
>
> [mm]\overrightarrow{a}_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 8} \overrightarrow{a}_{2}[/mm]
> = [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ -7} \overrightarrow{a}_{3}[/mm] = [mm]\vektor{6 \\ -3 \\ 21}[/mm]
>
> a)
>
> Durch Gauß weiß ich: dim U = Rang(A) = 2
>
> b)
>
> Durch a) weiß ich nun das man zeigen muss das
> [mm]\overrightarrow{a}_{Teddy} \in[/mm] U liegt oder auch nicht. OK
>
> Mein Versuch (Ist er Richtig bzw. geht das eleganter +
> schneller + universeller?):
>
> Gauß:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4 \\ -2 & 5 \\ 8 & -7 }[/mm] = [mm]\pmat{ 3 \\ 4 \\ 6 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4 \\ 0 & 13 \\ 0 & -39 }[/mm] = [mm]\pmat{ 3 \\ 10 \\ -18 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4 \\ 0 & 13 \\ 0 & 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ 3 \\ 10 \\ 12 }[/mm]
>
>
> [mm]13\*k_{2}[/mm] = 10
> [mm]\gdw k_{2}[/mm] = [mm]\bruch{10}{13}[/mm]
>
> usw. [mm]k_{1}[/mm] = 23
>
> [mm]k_{1}[/mm] und [mm]k_{2}[/mm] in [mm]0\*k_{1}+0\*k_{2}[/mm] = 12
> [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\not=[/mm] 12 [mm]\Rightarrow \overrightarrow{a}_{Teddy} \not\in[/mm]
> U.
Ja das ist richtig. Du könntest die lineare Abhängigkeit auch prüfen indem du den Vektor [mm] \vec{a_{Teddy}} [/mm] mit den 2 Basisvektoren deines Vektorraums in eine Matrix schreibst und dann in Zeilenstufenform bringst,
aber das lohnt sich meiner Meinung nach nur bei mehreren Vektoren die zu prüfen sind.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß helicopter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Di 12.03.2013 | | Autor: | koa24 |
ok, perfekt danke.
Also zur Optimierung einfach die n Basisvektoren nehmen,
wenn man z.B. 1 Millionen Vektoren hat, die zu prüfen sind.
Ich empfand die Lösung irgendwie zu einfach...
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