Letzter Schritt stationäre V. < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Do 04.03.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Ein zufällig ausgewählter Abonnent A wechselt innerhalb Jahresfrist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.3 zur Gesellschaft B, ein zufällig ausgewählter Abonnent von B wechselt in dieser Zeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.25 zu A. In den restlichen Fällen bleibt der Abonnent seiner Telefongesellschaft treu. Wie verteilen sich die Abonnenten nach zwei Jahren auf die beiden Gesellschaften? Welche approximative Verteilung ist bei unverändertem Kundenverhalten in 30 Jahren zu erwarten? |
Ich habe die Übergangsmatrix: $ [mm] \pmat{ 0.7 & 0.25 \\ 0.3 & 0.75}$
[/mm]
charak. Polynom ist: [mm] $x^{2} [/mm] - 1,45x + 0,45$
[mm] $\lambda_{1} [/mm] = 0.5$ und [mm] $\lambda_{2} [/mm] = 1$
Ich habe hier schon ein paar Seiten durchsucht und bin auf die Formel [mm] $A^{n} [/mm] = [mm] PD^{n}P^{-1}$ [/mm] gestossen, leider scheitere ich beim Zusammensetzen...
Eigenvektoren sind: [mm] $\vektor{-1 \\ 1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{5 \\ 6}$
[/mm]
Die diagonalisierte Matrix wäre also: [mm] $\pmat{ 0.5 & 0 \\ 0 & 1}$
[/mm]
die Matrix $ P$ die sich aus den beiden Eigenvektoren zusammensetzt ist: $ [mm] \pmat{ -1 & 5 \\ 1 & 6}$
[/mm]
davon die invertierte Matrix [mm] $P^{-1}$ [/mm] ist :$ [mm] \pmat{ \frac{-6}{11} & \frac{5}{11} \\ \frac{1}{11} & \frac{1}{11}}$
[/mm]
Wie gehe ich jetzt weiter vor, um die stationäre Verteilung zu erhalten (bzw. zum Beispiel die Verteilung nach 30 Jahren)?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt (schon einmal hier in einem anderen Thread der abgelaufen ist) und bin für jede Antwort dankbar.
|
|
| |
|
Hallo!
> Ein zufällig ausgewählter Abonnent A wechselt innerhalb
> Jahresfrist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.3 zur
> Gesellschaft B, ein zufällig ausgewählter Abonnent von B
> wechselt in dieser Zeit mit einer Wahrscheinlichkeit von
> 0.25 zu A. In den restlichen Fällen bleibt der Abonnent
> seiner Telefongesellschaft treu. Wie verteilen sich die
> Abonnenten nach zwei Jahren auf die beiden Gesellschaften?
> Welche approximative Verteilung ist bei unverändertem
> Kundenverhalten in 30 Jahren zu erwarten?
> Ich habe die Übergangsmatrix: [mm]A:=\pmat{ 0.7 & 0.25 \\ 0.3 & 0.75}[/mm]
Genau, es gilt:
[mm] $\vektor{A_{neu}\\B_{neu}} [/mm] = [mm] \pmat{ 0.7 & 0.25 \\ 0.3 & 0.75}*\vektor{A\\B}$
[/mm]
> charak. Polynom ist: [mm]x^{2} - 1,45x + 0,45[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1} = 0.5[/mm] und [mm]\lambda_{2} = 1[/mm]
Wahrscheinlich nur ein Tippfehler:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 0.45
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 1.
> Ich habe hier schon ein paar Seiten durchsucht und bin auf
> die Formel [mm]A^{n} = PD^{n}P^{-1}[/mm] gestossen, leider scheitere
> ich beim Zusammensetzen...
> Eigenvektoren sind: [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{5 \\ 6}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die diagonalisierte Matrix wäre also: [mm]\pmat{ 0.5 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
Wieder Tippfehler:
$D = [mm] \pmat{ 0.45 & 0 \\ 0 & 1}$
[/mm]
> die Matrix [mm]P[/mm] die sich aus den beiden Eigenvektoren
> zusammensetzt ist: [mm]\pmat{ -1 & 5 \\ 1 & 6}[/mm]
genau.
> davon die invertierte Matrix [mm]P^{-1}[/mm] ist :[mm] \pmat{ \frac{-6}{11} & \frac{5}{11} \\ \frac{1}{11} & \frac{1}{11}}[/mm]
> Wie gehe ich jetzt weiter vor, um die stationäre
> Verteilung zu erhalten (bzw. zum Beispiel die Verteilung
> nach 30 Jahren)?
Du hast ja oben schon die fertige Formel stehen. Hier nur nochmal, wie man darauf kommt:
Aus lineare Algebra wissen wir, dass man die Diagonalmatrix nun erhält, indem wir rechnen:
$D = [mm] P^{-1}*A*P$
[/mm]
Wir interessieren uns für [mm] A^{n}. [/mm] Das kann man nun leicht berechnen, wenn wir D und P kennen. Obige Formel umstellen:
$A = [mm] P*D*P^{-1}$
[/mm]
Was müssen wir nun berechnen, wenn wir [mm] A^{2} [/mm] wissen wollen:
$A = [mm] (P*D*P^{-1})^{2} [/mm] = [mm] (P*D*P^{-1})*(P*D*P^{-1}) [/mm] = [mm] P*D^{2}*P^{-1}$,
[/mm]
weil sich [mm] P^{-1}*P [/mm] = E wegkürzt. Also erhalten wir die allgemeine Formel:
[mm] $A^{n} [/mm] = [mm] P*D^{n}*P^{-1}$.
[/mm]
Nun setzen wir alles ein, was du berechnet hast:
[mm] $A^{n} [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 5 \\ 1 & 6}*\pmat{ 0.45 & 0 \\ 0 & 1}^{n}*\pmat{ \frac{-6}{11} & \frac{5}{11} \\ \frac{1}{11} & \frac{1}{11}}$
[/mm]
Und nun kann man eben die n-te Potenz einer Diagonalmatrix sehr einfach berechnen. Das ist einfach die Diagonalmatrix selbst, wobei die Diagonalelemente n-mal potenziert wurden:
[mm] $A^{n} [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 5 \\ 1 & 6}*\pmat{ 0.45^{n} & 0 \\ 0 & 1}*\pmat{ \frac{-6}{11} & \frac{5}{11} \\ \frac{1}{11} & \frac{1}{11}}$
[/mm]
Nun kannst du auch relativ leicht [mm] A^{30} [/mm] ausrechnen:
[mm] A^{30}\approx \pmat{0.45455 & 0.45455 \\ 0.54545 & 0.54545}
[/mm]
Ich weiß nicht genau, was eine stationäre Verteilung ist. Sollten das die Werte sein, wo sich nichts mehr ändert, so brauchst du bei der Formel oben nur eine Grenzwertbetrachtung für [mm] n\to\infty [/mm] durchzuführen.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Do 04.03.2010 | | Autor: | kushkush |
Waren tatsächlich Tippfehler am Anfang,
Dankeschön!
|
|
|
|
