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| Aufgabe | Eine Population mit 3 Altersstufen und Leslie-Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 3/4 & 0 } [/mm] hat zum Zeitpunkt t die "Größe" (600,50,150).
Bestimmen Sie die Population zum Zeitpunkt t-1. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin mir nicht sicher ob ich richtig vorgegangen bin und ob meine Lösung korrekt ist. Ich hoffe jemand kann mich bei Bedarf korrigieren.
Zum Zeiptpunkt t: t=(600,50,150), bei t-1: s=(?,?,?)
Es gilt:
t=A*s
600=s1+2s2+s3
50=1/2s1
150=3/4s2
-> s1=100, s2=200 -> s3=600-100-2*200=100
-> zum Zeitpunkt t-1 gilt s=(100,200,100)
Liege ich damit richtig?
Ich habe nun noch zur Übung versucht die Eigenwerte/Vektoren der Matrix zu berechnen und bin dabei auf Probleme gestoßen. Ich hoffe jemand kann mir helfen die Unklarheiten zu verstehen:
Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren:
(A-xI)= [mm] \pmat{ 1-x & 2 & 1 \\ 1/2 & -x & 0 \\ 0 & 3/4 & -x }
[/mm]
det(A-xI)=(1-x)(-x)(-x)+0+1*1/2*3/4-0-0-(-x)*1/2*2=-x³+x²+x+3/8
Nun würde ich normalerweise eine Nullstelle suchen, dann per Polynomdivision auf 2ten Grad reduzieren und dann per abc-Formel lösen, aber hier sehe ich keine Nullstelle bzw das Polynom hat ja generell nur eine bei x=1,71.
(ich habe das Ergebnis per Taschenrechner ermittelt, weiß aber nicht wie ich das ohne Plotting hätte berechnen können - kann mir hier jemand den Ansatz erläutern? )
Also gibt es nur einen EW x=1,71.
Damit bestimme ich nun den EV v:
A*v=1,71*v
(i) v1+2v2+v3=1,71v1
(ii) 1/2v1=1,71v2
(iii) 3/4v2=1,71v3
-> aus (ii) v1=3,42v2, aus (iii) v3=0,44v2
in (iii) 3,42v2+2v2+0,44v2=5,85v2 -> v2=v2 -> v2=t, tER
-> v1=3,42t, v3=0,44t.
-> v=(3,42t, t, 0,44t) und das entspricht, weil tER v=(t,t,t), oder liege ich hier falsch??
Ich wähle nun einen EV aus v=(t,t,t): e=(1,1,1).
Ich überlege nun wie ich damit die weitere Entwicklung der Pop berechnen könnte. Kann mir dazu jemand einen Ansatz geben?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:21 Di 07.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Eine Population mit 3 Altersstufen und Leslie-Matrix
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 3/4 & 0 }[/mm] hat zum
> Zeitpunkt t die "Größe" (600,50,150).
> Bestimmen Sie die Population zum Zeitpunkt t-1.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich bin mir nicht sicher ob ich richtig vorgegangen bin und
> ob meine Lösung korrekt ist. Ich hoffe jemand kann mich
> bei Bedarf korrigieren.
>
>
> Zum Zeiptpunkt t: t=(600,50,150), bei t-1: s=(?,?,?)
> Es gilt:
> t=A*s
>
> 600=s1+2s2+s3
> 50=1/2s1
> 150=3/4s2
>
> -> s1=100, s2=200 -> s3=600-100-2*200=100
>
> -> zum Zeitpunkt t-1 gilt s=(100,200,100)
>
> Liege ich damit richtig?
Alles richtig ja.
>
> Ich habe nun noch zur Übung versucht die
> Eigenwerte/Vektoren der Matrix zu berechnen und bin dabei
> auf Probleme gestoßen. Ich hoffe jemand kann mir helfen
> die Unklarheiten zu verstehen:
>
> Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren:
> (A-xI)= [mm]\pmat{ 1-x & 2 & 1 \\ 1/2 & -x & 0 \\ 0 & 3/4 & -x }[/mm]
>
> det(A-xI)=(1-x)(-x)(-x)+0+1*1/2*3/4-0-0-(-x)*1/2*2=-x³+x²+x+3/8
>
> Nun würde ich normalerweise eine Nullstelle suchen, dann
> per Polynomdivision auf 2ten Grad reduzieren und dann per
> abc-Formel lösen, aber hier sehe ich keine Nullstelle bzw
> das Polynom hat ja generell nur eine bei x=1,71.
> (ich habe das Ergebnis per Taschenrechner ermittelt, weiß
> aber nicht wie ich das ohne Plotting hätte berechnen
> können - kann mir hier jemand den Ansatz erläutern? )
Die Matrix ist über [mm] $\IR$ [/mm] nicht diagonalisierbar. Es macht auch keinen Sinn, mit einem gerundeten Eigenwert zu rechnen, du musst den exakten nehmen, welcher (laut Mathematica) [mm] $\frac{1}{24}(8+\sqrt[3]{5408-96\sqrt{1353}}+2\cdot 2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{169+3\sqrt{1353}})$ [/mm] ist. Die anderen Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind echt komplex. Es macht schlicht keinen Sinn damit weiter zu rechnen, denke ich.
LG Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 08.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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