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| Aufgabe | Drei Zweigwerke eines Industriekomplexes sind nach Leontief miteinander verflochten. Gegeben ist die Inputmatrix A durch
[mm]A = \bruch{1}{10}\pmat{ 2 & 0 & 2\\
4&4&0\\
0&3&2 } [/mm]
Bestimmen Sie a, b und c, sodass [mm]D = \bruch{1}{18}\pmat{ a&3&c\\
16&b&4\\
6&12&24 } [/mm] die Inverse von E - A ist. |
Mein Lösungsweg:
(E-A) * D = E
[mm](\pmat{ 1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1 } - \pmat{ \bruch{1}{5} & 0 & \bruch{1}{5} \\
\bruch{2}{5} & \bruch{2}{5} & 0\\
0 & \bruch{3}{10} & \bruch{1}{5} }) * \bruch{1}{18}\pmat{ a&3&c\\
16&b&4\\
6&12&24 } = \pmat{ 1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1 }[/mm]
Daraus lassen sich dann folgende Gleichungen bilden:
1. [mm]\bruch{2}{45}a - \bruch{1}{15} + \bruch{2}{45}c - \bruch{4}{15} = 1[/mm]
2. [mm]-\bruch{1}{45}a + \bruch{8}{15} - \bruch{1}{15} + \bruch{1}{30}b - \bruch{1}{45}c + \bruch{2}{15} = 1[/mm]
3. [mm]-\bruch{1}{60}b -+\bruch{8}{15} - \bruch{1}{15} + \bruch{16}{15} = 1[/mm]
Dadurch ergeben sich folgende Werte:
3. b = 32
2. a = -c + 30
1. c = 0
Nochmals eingesetzt:
3. b = 32
2. a = 30
1. c = 0
Durch WolframAlpha habe ich aber erfahren, dass c = 6 sein muss (dann würde a = -6 + 30 = 24 auch passen).
Ich komme da aber nicht hin.
Erkennt jemand meinen Fehler?
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Hallo Apfelchips,
> Drei Zweigwerke eines Industriekomplexes sind nach Leontief
> miteinander verflochten. Gegeben ist die Inputmatrix A
> durch
>
> [mm]A = \bruch{1}{10}\pmat{ 2 & 0 & 2\\
4&4&0\\
0&3&2 }[/mm]
>
> Bestimmen Sie a, b und c, sodass [mm]D = \bruch{1}{18}\pmat{ a&3&c\\
16&b&4\\
6&12&24 }[/mm]
> die Inverse von E - A ist.
>
> Mein Lösungsweg:
>
> (E-A) * D = E
>
> [mm](\pmat{ 1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1 } - \pmat{ \bruch{1}{5} & 0 & \bruch{1}{5} \\
\bruch{2}{5} & \bruch{2}{5} & 0\\
0 & \bruch{3}{10} & \bruch{1}{5} }) * \bruch{1}{18}\pmat{ a&3&c\\
16&b&4\\
6&12&24 } = \pmat{ 1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1 }[/mm]
>
> Daraus lassen sich dann folgende Gleichungen bilden:
>
> 1. [mm]\bruch{2}{45}a - \bruch{1}{15} + \bruch{2}{45}c - \bruch{4}{15} = 1[/mm]
>
Hier hast Du doch 2 Gleichungen:
[mm]\bruch{2}{45}a - \bruch{1}{15} = 1[/mm]
[mm]\bruch{2}{45}c - \bruch{4}{15}=0[/mm]
> 2. [mm]-\bruch{1}{45}a + \bruch{8}{15} - \bruch{1}{15} + \bruch{1}{30}b - \bruch{1}{45}c + \bruch{2}{15} = 1[/mm]
>
Hier 3 Gleichungen:
[mm]-\bruch{1}{45}a + \bruch{8}{15} = 0[/mm]
[mm]-\bruch{1}{15} + \bruch{1}{30}b = 1[/mm]
[mm] - \bruch{1}{45}c + \bruch{2}{15} = 0[/mm]
> 3. [mm]-\bruch{1}{60}b -+\bruch{8}{15} - \bruch{1}{15} + \bruch{16}{15} = 1[/mm]
>
Die Gleichung hier muss doch lauten:
[mm]-\bruch{1}{60}b+\bruch{8}{15} =0[/mm]
> Dadurch ergeben sich folgende Werte:
>
> 3. b = 32
> 2. a = -c + 30
> 1. c = 0
>
> Nochmals eingesetzt:
>
> 3. b = 32
> 2. a = 30
> 1. c = 0
>
> Durch WolframAlpha habe ich aber erfahren, dass c = 6 sein
> muss (dann würde a = -6 + 30 = 24 auch passen).
>
> Ich komme da aber nicht hin.
> Erkennt jemand meinen Fehler?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 So 04.03.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Da hast Du natürlich absolut recht.
Mit diesen richtigen Gleichungen lassen sich dann auch a, b und c korrekt bestimmen.
Danke für Deine Hilfe!
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