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| Aufgabe | Zeige:
Ist [mm] $f:\mathbb [/mm] E [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] E$ eine holomorphe Abbildung der offenen Einheitskreisscheibe [mm] $\mathbb [/mm] E$ in sich mit $f(0)=0$, so gilt [mm] $|f'(0)|\leq [/mm] 1$ und [mm] $|f(z)|\leq|z|$ [/mm] für alle $|z|<1$. |
Hallo,
muss obige Aufgabe lösen, habe dazu als Tipp Folgendes bekommen:
1. [m]f[/m] ist als holomorphe Fkt als Potenzreihe [m]\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot z^k[/m] darstellbar, bei der dann [m]a_0=0[/m] wegen [m]f(0)=0[/m] ist.
2. [m]\frac{f(z)}{z}=\sum_{k=0}^\infty a_{k+1}\cdot z^k[/m]
Wenn man von der rechten Seite von 2. zeigen könnte, dass der Ausdruck vom Betrag her kleinergleich 1 ist, so hätte man einen Teil gelöst. Hab aber bisher keine Idee, wie man das schaffen könnte.
Wär super, wenn mir da jemand weiterhelfen könnt'!
Vielen Dank im Voraus,
Lorenz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mo 26.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Lorenz!
> Zeige:
> Ist [m]f:\mathbb E \rightarrow \mathbb E[/m] eine holomorphe
> Abbildung der offenen Einheitskreisscheibe [m]\mathbb E[/m] in
> sich mit [m]f(0)=0[/m], so gilt [m]|f'(0)\leq0[/m] und [m]|f(z)|\leq|z|[/m] für
> alle [m]|z|<1[/m].
Das muss wohl heissen: [mm] $|f'(0)|\le [/mm] 1$, denn [mm] $\leq [/mm] 0$ ergibt wenig Sinn.
> Hallo,
> muss obige Aufgabe lösen, habe dazu als Tipp Folgendes
> bekommen:
> 1. [m]f[/m] ist als holomorphe Fkt als Potenzreihe
> [m]\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot z^k[/m] darstellbar, bei der dann
> [m]a_0=0[/m] wegen [m]f(0)=0[/m] ist.
>
> 2. [m]\frac{f(z)}{z}=\sum_{k=0}^\infty a_{k+1}\cdot z^k[/m]
>
> Wenn man von der rechten Seite von 2. zeigen könnte, dass
> der Ausdruck vom Betrag her kleinergleich 1 ist, so hätte
> man einen Teil gelöst. Hab aber bisher keine Idee, wie man
> das schaffen könnte.
Per Definition ist [mm] $|f(z)|\le [/mm] 1$ für alle [mm] $z\in\mathbb [/mm] E$. $g(z)=f(z)/z$ ist holomorph in [mm]\mathbb E[/mm]. Kannst du das Maximumsprinzip benutzen?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
herzlichen Dank für die schnelle Reaktion und entschuldige bitte, den schon Dir berichtigten Abschreibfehler.
Ich kenne den Begriff Maximumprinzip vom Namen her, weiss aber nicht, wie ich dieses Prinzip hier gewinnbringend einsetzen kann.
Gruß,
Lorenz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Sei 0<r<1. Wegen |f(z)|<1 ist dann
|g(z)| kleiner oder gleich 1/r für |z|=r
Das Maximumprinzip liefert dann
|g(z)| kleiner oder gleich 1/r für |z| kleiner oder gleich r.
Nun lasse r gegen 1 gehen, dann erhälst Du was ...........................?
FRED
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Hallo Fred,
also so blöd bin ich nun auch nicht, dass ich nicht sehen würd, dass [m]\lim_{r\rightarrow1}\frac{1}{r}=1[/m] ist bzw. bei [m]\sup \{r=|z|\}=1[/m].;)
Aber was mich an diesem Limes stört, ist, dass doch [m]|z|\rightarrow 1[/m] gehen muss da [m]|z|=r[/m], ich also ein spezielles z betrachte und nicht mehr alle und im Ausdruck [m]|g(z)|[/m] dann nun mal auch nur das spezielle z steht und nicht ein allgemeines.
Mir ist vollkommen klar, dass das dieses z aus irgendeinem Grund doch nicht speziell ist.
Aber welcher Grund ist dies?
Greez,
Lorenz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Wieso machst Du mich so blöd an ?
wenn r gegen 1 geht, so erhälst Du |g(z)| ist kleiner oder gleich 1.
Das ist doch das was Du wolltest.
Nun hab ich Dir den ganzen Beweis geliefert.
Also Bitte.
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Hallo Fred,
ich wollte Dich mit Sicherheit nicht blöd anmachen, davon halt ich nix, erst recht nicht, wenn mir jemand zu helfen versucht!
Ich hatte deshalb auch meine erste Zeile mit nem ";)" versehen. Dass mein Tonfall dennnoch missverständlich rübergekommen ist, tut mir leid.
In der Hoffnung aus Versöhnung,
Lorenz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:04 Di 03.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Entschuldigung angenommen
FRED
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