Lemma von Bezout < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Di 01.11.2005 | | Autor: | Muffy |
ich hab diese aufgabe zu lösen:
seien a,b [mm] \in \IZ [/mm] teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass die Gleichung
x * a² + y *b = a -1
eine Lösung (x,y) [mm] \in \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] hat.
mein ansatz ist, dass ich die formel von Lemma von Bezout
x * a + y * b = 1
nach jeweils a und b auflöse und dann in die ausgangsformel einsetze...
aber leider komme ich zu keinem richtigen ergebnis..
ist mein ansatz richtig, bzw könnt ihr mir weiterhelfen ?
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Grüße!
Nun, mir fallen spontan zwei Dinge auf:
1) Sind $a$ und $b$ teilerfremd, so auch [mm] $a^2$ [/mm] und $b$ aufgrund der Primfaktorzerlegung. Daher kann man die 1 auch aus [mm] $a^2$ [/mm] und $b$ linear kombinieren.
2) Natürlich gilt [mm] $ggT(a,a^2) [/mm] = a$, folglich gibt es ganze Zahlen $u$ und $v$ mit
$u [mm] \cdot a^2 [/mm] + v [mm] \cdot [/mm] a = a$
Versuch mal, diese Gleichungen in Deiner Überlegungen einzubeziehen. 
Lars
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> ich hab diese aufgabe zu lösen:
> seien a,b [mm]\in \IZ[/mm] teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass
> die Gleichung
> x * a² + y *b = a -1
> eine Lösung (x,y) [mm]\in \IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] hat.
>
> mein ansatz ist, dass ich die formel von Lemma von Bezout
> x * a + y * b = 1
Hallo, wie Gnomotech feststellt, haben dann auch [mm] a^2 [/mm] und b keine gemeinsamen Teiler, und das ist der wesentliche Gedanke. Man findet also ganze Zahlen x und y mit [mm] xa^2+yb=1. [/mm]
Der rest ergibt sich wie von selbst: jetzt multipliziere ich einfach mit (a-1) (a [mm] \not=1 [/mm] vorausgesetzt) und habe, was ich will. Bzw. was Du willst:
[mm] (a-1)xa^2+(a-1)yb=a-1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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