Leitwertberechnung, Quader < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo E-Techniker!
Ausgangssituation:
1.) Angenommen man hat einen solchen ![[]](/images/popup.gif) Quader gegeben.
2.) Der Strom I wird über die Stirnfläche des Quaders eingespeist (im Bild also über die rote Fläche), wobei er genau senkrecht auf die Fläche trifft.
3.) Dazu ist eine spezifische Leitfähigkeit [mm] \gamma(s) [/mm] gegeben, die abhängig von der Länge des Quaders ist (von x=0 bis x=s), wobei s die gesamte Länge des Quaders ist.
Aufgabe:
Es soll nun der Leitwert des Widerstandes des gesamten Quaders berechnet werden.
Mein Lösungsvorschlag:
Berechnung der Stromdichte J:
Aus [mm] \integral_{}^{}{\vec{J}*d\vec{A}}=I [/mm] erhalte ich [mm] J=\bruch{I}{b^{2}}, [/mm] wobei [mm] b^{2} [/mm] die Stirnfläche darstellt (im Bild also b*c).
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Stromdichte J ist also nicht abhängig vom spezifischen Leitwert [mm] \gamma(s).
[/mm]
Berechnung des E-Feldes:
Durch [mm] \vec{E}=\bruch{\vec{J}}{\gamma} [/mm] erhalte ich das E-Feld zu [mm] E=\bruch{I}{\gamma(s)*b^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Das E-Feld ist also abhängig vom spezifischen Leitwert.
Berechnung der Spannung U:
Aus [mm] U=\integral_{}^{}{\vec{E}*d\vec{s}} [/mm] bekomme ich nun die Spannung, die über dem gesamten Leiterstück abfällt:
[mm] U=\integral_{0}^{l}{\bruch{I}{\gamma(s)*b^{2}}ds}=\bruch{I*l}{\gamma(s)*b^{2}}
[/mm]
Berechnung des Widerstandes R:
Über [mm] R=\bruch{U}{I} [/mm] erhalte ich dann den Widerstand zu
[mm] R=\bruch{l}{\gamma(s)*b^{2}}
[/mm]
Berechnung des Leitwertes G:
Über [mm] G=\bruch{1}{R} [/mm] erhalte ich schließlich den Leitwert zu [mm] G=\bruch{\gamma(s)*b^{2}}{l}
[/mm]
Es wäre sehr nett, wenn sich das jemand mal anschauen könnte.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
unter der Voraussetzung, dass die Gegenelektrode an der anderen Stirnseite des Quaders sitzt, macht das Ganze Sinn. Wenn die Leitfähigkeit von s abhängt, musst Du allerdings diese Größe auch bei der Bestimmung der Spannung berücksichtigen. Du kannst nicht über s integrieren und im Ergebnis dann noch einen Faktor drin stehen haben, der von s abhängt. Der Rechenweg ist allerdings plausibel.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Da war ich wohl formal etwas ungenau.
Nochmal:
1.) Die gesamte Länge des Quaders ist l.
2.) Der spezifische Leitwert [mm] \gamma(s), [/mm] mit [mm] s\in[0,l] [/mm] ist also abhängig vom genauen Standpunkt s im Quader.
Man müsste dann quasi über dx integrieren, wobei dx ein infinitesimales Streckenteilstück aus l darstellt, wäre das okay?
Es ist doch auch so, dass man prinzipiell auch sowohl über die Summe der Teilleitwerte
[mm] \integral_{}^{}{dG} [/mm]
als auch über die Summe der Teilwiderstände
[mm] \integral_{}^{}{dR} [/mm]
gehen könnte, da ja Stromlinien und Querschnittsflächen unverändert bleiben, sehe ich das richtig?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
ja, jetzt sieht der Ansatz korrekt aus. Du kannst auch über Teilleitwerte bzw. Teilwiderstände integrieren, da sich der Querschnitt nicht ändert, sondern nur die Leitfähigkeit. Dein Ansatz aus Deinem ersten Post ist sozusagen der klassische.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Danke schön!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Do 25.03.2010 | | Autor: | GvC |
> Hallo!
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> Da war ich wohl formal etwas ungenau.
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>
> Nochmal:
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>
> 1.) Die gesamte Länge des Quaders ist l.
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> 2.) Der spezifische Leitwert [mm]\gamma(s),[/mm] mit [mm]s\in[0,l][/mm] ist
> also abhängig vom genauen Standpunkt s im Quader.
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>
> Man müsste dann quasi über dx integrieren, wobei dx ein
> infinitesimales Streckenteilstück aus l darstellt, wäre
> das okay?
>
>
>
> Es ist doch auch so, dass man prinzipiell auch sowohl über
> die Summe der Teilleitwerte
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{dG}[/mm]
Das ist nicht richtig! Du hast Dir den Quader als Reihenschaltung differentiell kleiner Widerstände der Länge dx vorzustellen. Bei einer Reihenschaltung gilt aber nur, dass der Gesamtwiderstand die Summe (hier das Integral) der Einzelwiderstände ist. Falsch wäre es, bei einer Reihenschaltung die Summe der Einzelleitwerte zum Gesamtleitwert zusammenzufassen.
Das kannst Du auch rein formal (also an der "Formel") erkennen: Der Leitwert eines differentiell kurzen Quaderstückchens wäre [mm] \bruch{\kappa\cdot b\cdot c}{dx} [/mm] und ist nicht infinitesimal klein, sondern unendlich groß (wegen des gegen Null gehenden dx im Nenner). Unendlich große Elemente zu einer endlichen Größe aufzusummieren ist aber nicht möglich.
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>
> als auch über die Summe der Teilwiderstände
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{dR}[/mm]
>
> Das ist für das genannte Problem korrekt.
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> gehen könnte, da ja Stromlinien und Querschnittsflächen
> unverändert bleiben, sehe ich das richtig?
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>
> Gruß, Marcel
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Im Übrigen hast Du in Deinem vorangegangenen Post die Querschnittsfläche zu b² angegeben. Das gilt natürlich nur, wenn die in Deiner Skizze gegebenen Abmessungen für Breite b und Höhe c gleich groß sind.
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