Leitkoeffizienten & Multigrad < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Fr 17.06.2011 | | Autor: | phrygian |
| Aufgabe | Seien [mm]f_i,p\in k[x_1,\ldots, x_n][/mm] derart, dass [mm]p\neq0[/mm] und [mm]\textrm{LT}(f_i)|\textrm{LT}(p)[/mm].
Dann gilt
[mm]\textrm{LT}\left(\frac{\textrm{LT}(p)}{\textrm{LT}(f_i)}f_i\right)= \frac{\textrm{LT}(p)}{\textrm{LT}(f_i)}\textrm{LT}(f_i)[/mm]. |
Hallo
die Gleichung steht im Beweis des Divisionsalgorithmus in [mm]k[x_1,\ldots, x_n][/mm] (Cox, Little, O'Shea "Ideals, Varieties, and Algorithms"). Man soll sie aus folgendem Lemma herleiten:
"Let [mm]f,g \in k[x_1,\ldots, x_n][/mm] be nonzero polynomials. Then
(i) [mm]\textrm{multideg}(fg) = \textrm{multideg}(f) + \textrm{multideg}(g)[/mm].
(ii) If [mm]f+g\neq 0[/mm], then [mm]\textrm{multideg}(f+g)\leq \textrm{max}(\textrm{multideg}(f),\textrm{multideg}(g))[/mm]. If, in addition, [mm]\textrm{multideg}(f) \neq \textrm{multideg}(g)[/mm], then equality occurs."
Ich habe es so versucht:
[mm]\begin{matrix}\textrm{LT}\left(\frac{\textrm{LT}(p)}{\textrm{LT}(f_i)}f_i\right) &=& \textrm{LC}\left(\frac{\textrm{LT}(p)}{\textrm{LT}(f_i)}f_i\right)*\textrm{LM}\left(\frac{\textrm{LT}(p)}{\textrm{LT}(f_i)}f_i\right)\\
&=& a_{\textrm{multideg}\left(\frac{\textrm{LT}(p)}{\textrm{LT}(f_i)}f_i\right)}*x^{\textrm{multideg}\left(\frac{\textrm{LT}(p)}{\textrm{LT}(f_i)}f_i\right)}\\
&=& a_{\textrm{multideg}\left(\frac{\textrm{LT}(p)}{\textrm{LT}(f_i)}f_i\right)}*x^{\textrm{multideg}\left(\frac{\textrm{LT}(p)}{\textrm{LT}(f_i)}\right)}*x^{\textrm{multideg}(f_i)} \quad (\textrm{(nach (i))}\\
&=& a_{\textrm{multideg}\left(\frac{\textrm{LT}(p)}{\textrm{LT}(f_i)}f_i\right)}*\textrm{LT}\left(\frac{\textrm{LT}(p)}{\textrm{LT}(f_i)}\right)*\textrm{LT}(f_i)\end{matrix}[/mm]
bin aber nicht weitergekommen.
Kann mir jemand einen Hinweis geben?
Gruss, phrygian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:26 Sa 18.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien [mm]f_i,p\in k[x_1,\ldots, x_n][/mm] derart, dass [mm]p\neq0[/mm] und
> [mm]\textrm{LT}(f_i)|\textrm{LT}(p)[/mm].
>
> Dann gilt
>
> [mm]\textrm{LT}\left(\frac{\textrm{LT}(p)}{\textrm{LT}(f_i)}f_i\right)= \frac{\textrm{LT}(p)}{\textrm{LT}(f_i)}\textrm{LT}(f_i)[/mm].
>
> Hallo
>
> die Gleichung steht im Beweis des Divisionsalgorithmus in
> [mm]k[x_1,\ldots, x_n][/mm] (Cox, Little, O'Shea "Ideals, Varieties,
> and Algorithms"). Man soll sie aus folgendem Lemma
> herleiten:
>
> "Let [mm]f,g \in k[x_1,\ldots, x_n][/mm] be nonzero polynomials.
> Then
>
> (i) [mm]\textrm{multideg}(fg) = \textrm{multideg}(f) + \textrm{multideg}(g)[/mm].
>
> (ii) If [mm]f+g\neq 0[/mm], then [mm]\textrm{multideg}(f+g)\leq \textrm{max}(\textrm{multideg}(f),\textrm{multideg}(g))[/mm].
> If, in addition, [mm]\textrm{multideg}(f) \neq \textrm{multideg}(g)[/mm],
> then equality occurs."
Mit dieser Aussage zeigst du $LT(f g) = LT(f) LT(g)$. Die erste Aussage des Lemmas liefert dir etwas ueber den Grad von $f + g$, und die zweite Aussage sagt dir, dass alle anderen Terme des Produktes $f g$ in $LT(f g)$ nichts zur Sache tun.
Weiterhin gilt: $LT(LT(f)) = LT(f)$.
Ist $h$ ein Teiler von $f$, so gilt $f = g h$ und somit $LT(f) = LT(g) LT(h)$, womit $LT(h)$ ebenfalls ein Teiler von $LT(f)$ ist, und der Quotient von $LT(f)$ und $LT(h)$ ist gerade $LT(g) = [mm] LT(\frac{f}{h})$.
[/mm]
Daraus folgt $LT( [mm] \frac{LT(p)}{LT(f_i)} f_i [/mm] ) = LT( LT(p) [mm] \cdot \frac{f_i}{LT(f_i)} [/mm] ) = LT(p) [mm] \cdot [/mm] LT( [mm] \frac{f_i}{LT(f_i)} [/mm] ) = LT(p) [mm] \cdot \frac{LT(f_i)}{LT(LT(f_i))} [/mm] = [mm] \frac{LT(p)}{LT(f_i)} LT(f_i)$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:42 Sa 18.06.2011 | | Autor: | phrygian |
Hey Felix,
vielen Dank für deine Antwort :)
> Die erste Aussage des Lemmas liefert dir etwas ueber den Grad von $ f + g $, und die zweite Aussage sagt dir, dass alle anderen Terme des
> Produktes $ f g $ in $ LT(f g) $ nichts zur Sache tun.
Ich nehme an, dass du die Reihenfolge der Aussagen vertauscht hast.
Ich schaue mir das morgen wieder an, bin jetzt zu müde.
LG, Giorgio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:21 Sa 18.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Giorgio! :)
> vielen Dank für deine Antwort :)
>
> > Die erste Aussage des Lemmas liefert dir etwas ueber den
> Grad von [mm]f + g [/mm], und die zweite Aussage sagt dir, dass alle
Aeh, das sollte $f [mm] \cdot [/mm] g$ heissen 
> anderen Terme des
> > Produktes [mm]f g[/mm] in [mm]LT(f g)[/mm] nichts zur Sache tun.
Die anderen Terme sind Summen von Produkten.
> Ich nehme an, dass du die Reihenfolge der Aussagen
> vertauscht hast.
Bis auf das $f + g$ anstelle $f [mm] \cdot [/mm] g$ eigentlich nicht :)
> Ich schaue mir das morgen wieder an, bin jetzt zu müde.
Viel Erfolg! Ich sollte auch mal schlafen gehn...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Sa 18.06.2011 | | Autor: | phrygian |
Hoi Felix :)
> Aeh, das sollte [mm]f \cdot g[/mm] heissen
ach so. Leider ist aber nicht ganz klar, weshalb man beide Aussagen des Lemmas braucht, um [mm]\textrm{LT}(f*g)= \textrm{LT}(f)*\textrm{LT}(g)[/mm] zu zeigen. Könnte man nicht auch so argumentieren:
Wenn [mm]f=\sum_{i=1}^l a_{\alpha_i}*x^{\alpha_i}[/mm] und [mm]g=\sum_{j=1}^m b_{\beta_j}*x^{\beta_j}[/mm], dann besteht [mm]f*g[/mm] aus Termen der Form [mm]a_{\alpha_i}*b_{\beta_j}*x^{\alpha_i}*x^{\beta_j}[/mm].
Da [mm]x^{\alpha_i}*x^{\beta_j}= x^{\alpha_i + \beta_j}[/mm] und [mm]\textrm{multideg}(f)+\textrm{multideg}(g) = \textrm{multideg}(f*g)[/mm], ist [mm]\textrm{LM}(f*g)= \textrm{LM}(f)*\textrm{LT}(g)[/mm] und [mm]\textrm{LC}(f*g)= \textrm{LC}(f)*\textrm{LC}(g)[/mm], woraus die Gleichung folgt.
Geht das so?
Danke im voraus! :)
LG, Giorgio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 19.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Giorgio!
> > Aeh, das sollte [mm]f \cdot g[/mm] heissen
>
> ach so. Leider ist aber nicht ganz klar, weshalb man beide
> Aussagen des Lemmas braucht, um [mm]\textrm{LT}(f*g)= \textrm{LT}(f)*\textrm{LT}(g)[/mm]
> zu zeigen. Könnte man nicht auch so argumentieren:
>
> Wenn [mm]f=\sum_{i=1}^l a_{\alpha_i}*x^{\alpha_i}[/mm] und
> [mm]g=\sum_{j=1}^m b_{\beta_j}*x^{\beta_j}[/mm], dann besteht [mm]f*g[/mm]
> aus Termen der Form
> [mm]a_{\alpha_i}*b_{\beta_j}*x^{\alpha_i}*x^{\beta_j}[/mm].
> Da [mm]x^{\alpha_i}*x^{\beta_j}= x^{\alpha_i + \beta_j}[/mm] und
> [mm]\textrm{multideg}(f)+\textrm{multideg}(g) = \textrm{multideg}(f*g)[/mm],
Soweit ok, aber:
> ist [mm]\textrm{LM}(f*g)= \textrm{LM}(f)*\textrm{LT}(g)[/mm] und
> [mm]\textrm{LC}(f*g)= \textrm{LC}(f)*\textrm{LC}(g)[/mm], woraus die
> Gleichung folgt.
Das musst du noch beweisen.
Du musst zeigen, dass es genau ein Monom mit Exponenten $multideg(f) + multideg(g)$ gibt (und keins mit groesserem Exponenten), und zwar $LT(f) * LT(g)$. Dazu schreibe doch $f = LT(f) + [mm] \hat{f}$ [/mm] mit [mm] $multideg(\hat{f}) [/mm] < multideg(f)$ und analog $g = LT(g) + [mm] \hat{g}$ [/mm] mit [mm] $multideg(\hat{g}) [/mm] < multideg(g)$. Dann kannst du $f * g$ damit ausmultiplizieren und sehr schnell sagen, welche Grade die einzelnden Teile (hoechstens) haben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Do 23.06.2011 | | Autor: | phrygian |
> Moin Giorgio!
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> > > Aeh, das sollte [mm]f \cdot g[/mm] heissen
> >
> > ach so. Leider ist aber nicht ganz klar, weshalb man beide
> > Aussagen des Lemmas braucht, um [mm]\textrm{LT}(f*g)= \textrm{LT}(f)*\textrm{LT}(g)[/mm]
> > zu zeigen. Könnte man nicht auch so argumentieren:
> >
> > Wenn [mm]f=\sum_{i=1}^l a_{\alpha_i}*x^{\alpha_i}[/mm] und
> > [mm]g=\sum_{j=1}^m b_{\beta_j}*x^{\beta_j}[/mm], dann besteht [mm]f*g[/mm]
> > aus Termen der Form
> > [mm]a_{\alpha_i}*b_{\beta_j}*x^{\alpha_i}*x^{\beta_j}[/mm].
> > Da [mm]x^{\alpha_i}*x^{\beta_j}= x^{\alpha_i + \beta_j}[/mm] und
> > [mm]\textrm{multideg}(f)+\textrm{multideg}(g) = \textrm{multideg}(f*g)[/mm],
>
> Soweit ok, aber:
>
> > ist [mm]\textrm{LM}(f*g)= \textrm{LM}(f)*\textrm{LT}(g)[/mm] und
> > [mm]\textrm{LC}(f*g)= \textrm{LC}(f)*\textrm{LC}(g)[/mm], woraus die
> > Gleichung folgt.
>
> Das musst du noch beweisen.
>
> Du musst zeigen, dass es genau ein Monom mit Exponenten
> [mm]multideg(f) + multideg(g)[/mm] gibt (und keins mit groesserem
> Exponenten), und zwar [mm]LT(f) * LT(g)[/mm].
Hi Felix
statt [mm]\textrm{LM}(f*g)= \textrm{LM}(f)*\textrm{LT}(g)[/mm] meinte ich natürlich [mm]\textrm{LM}(f*g)= \textrm{LM}(f)*\textrm{LM}(g)[/mm].
Jedenfalls verstehe ich nicht ganz, weshalb aus [mm]\textrm{multideg}(f)+\textrm{multideg}(g) = \textrm{multideg}(f*g)[/mm] nicht schon folgt, dass es kein Monom mit grösserem Exponenten als [mm]\textrm{multideg}(f)+\textrm{multideg}(g)[/mm] geben kann. Wenn es ein Monom in [mm]f*g[/mm] gäbe mit dem Exponenten [mm]\gamma > \textrm{multideg}(f)+\textrm{multideg}(g)[/mm], dann wäre [mm]\textrm{multideg}(f*g)< \gamma[/mm], was im Widerspruch zur Definition des Multigrads stünde!?![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Und deshalb impliziert doch [mm]\textrm{multideg}(f)+\textrm{multideg}(g) = \textrm{multideg}(f*g)[/mm] unmittelbar [mm]\textrm{LM}(f*g)= x^{\textrm{multideg}(f*g)}= x^{\textrm{multideg}(f)}*x^{\textrm{multideg}(g)}=\textrm{LM}(f)*\textrm{LM}(g)[/mm], oder?
LG, Giorgio
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Sa 25.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Giorgio!
> > > ist [mm]\textrm{LM}(f*g)= \textrm{LM}(f)*\textrm{LT}(g)[/mm] und
> > > [mm]\textrm{LC}(f*g)= \textrm{LC}(f)*\textrm{LC}(g)[/mm], woraus die
> > > Gleichung folgt.
> >
> > Das musst du noch beweisen.
> >
> > Du musst zeigen, dass es genau ein Monom mit Exponenten
> > [mm]multideg(f) + multideg(g)[/mm] gibt (und keins mit groesserem
> > Exponenten), und zwar [mm]LT(f) * LT(g)[/mm].
>
> statt [mm]\textrm{LM}(f*g)= \textrm{LM}(f)*\textrm{LT}(g)[/mm]
> meinte ich natürlich [mm]\textrm{LM}(f*g)= \textrm{LM}(f)*\textrm{LM}(g)[/mm].
das dachte ich mir schon :)
> Jedenfalls verstehe ich nicht ganz, weshalb aus
> [mm]\textrm{multideg}(f)+\textrm{multideg}(g) = \textrm{multideg}(f*g)[/mm]
> nicht schon folgt, dass es kein Monom mit grösserem
> Exponenten als [mm]\textrm{multideg}(f)+\textrm{multideg}(g)[/mm]
> geben kann.
Doch, daraus folgt es schon. Ich habe mich nicht so gut ausgedrueckt, ich meinte vor allem auch dass es nur ein Monom von diesem Grad gibt und dass dieses gerade $LT(f) [mm] \cdot [/mm] LT(g)$ ist.
> Wenn es ein Monom in [mm]f*g[/mm] gäbe mit dem
> Exponenten [mm]\gamma > \textrm{multideg}(f)+\textrm{multideg}(g)[/mm],
> dann wäre [mm]\textrm{multideg}(f*g)< \gamma[/mm], was im
> Widerspruch zur Definition des Multigrads
> stünde!?
> Und deshalb impliziert doch
> [mm]\textrm{multideg}(f)+\textrm{multideg}(g) = \textrm{multideg}(f*g)[/mm]
> unmittelbar [mm]\textrm{LM}(f*g)= x^{\textrm{multideg}(f*g)}= x^{\textrm{multideg}(f)}*x^{\textrm{multideg}(g)}=\textrm{LM}(f)*\textrm{LM}(g)[/mm],
> oder?
Ja. Allerdings willst du jetzt noch was ueber die Koeffizienten wissen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mi 13.07.2011 | | Autor: | phrygian |
> > Und deshalb impliziert doch
> > [mm]\textrm{multideg}(f)+\textrm{multideg}(g) = \textrm{multideg}(f*g)[/mm]
> > unmittelbar [mm]\textrm{LM}(f*g)= x^{\textrm{multideg}(f*g)}= x^{\textrm{multideg}(f)}*x^{\textrm{multideg}(g)}=\textrm{LM}(f)*\textrm{LM}(g)[/mm],
> > oder?
>
> Ja. Allerdings willst du jetzt noch was ueber die
> Koeffizienten wissen.
Hi Felix!
ich musste mich mühsam daran erinnern, wie ich weiter argumentieren wollte; ich glaube so:
Es gilt also [mm]\textrm{LM}(f*g)= \textrm{LM}(f)*\textrm{LM}(g)[/mm]. Der Koeffizient von [mm]\textrm{LM}(f*g)[/mm] ist dann [mm]a_{\textrm{multideg}(f)}*b_{\textrm{multideg}(g)}[/mm]. Ausserdem steht der Leitkoeffizient von [mm]f*g[/mm] vor dem Leitmonom von [mm]f*g[/mm] und muss deshalb [mm]a_{\textrm{multideg}(f)}*b_{\textrm{multideg}(g)}=\textrm{LC}(f)*\textrm{LC}(g)[/mm] sein.
Was stimmt daran nicht?
Danke! :)
Gruss, Giorgio
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
