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b)
Für |x|<1 gilt bekanntlich ln(1+x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \bruch{1}{k} *x^k.
[/mm]
Berechnen Sie mit den ersten 4 Summanden einen Näherungswert für [mm] ln(\bruch{3}{2}), [/mm] und bestimmen Sie die Differenz zu dem Wert von [mm] ln(\bruch{3}{2}), [/mm] den ein Taschenrechner liefert.
Bestimmen Sie ein N, so dass für x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und jedes n [mm] \ge [/mm] N gilt |ln(1+x) - [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \bruch{1}{k} *x^k| \le 10^{-6}
[/mm]
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b)
|x|<1
ln(1+x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \bruch{1}{k} *x^k
[/mm]
Vier Summanden ermitteln und Näherungswert für [mm] ln(\bruch{3}{2}) [/mm] ermitteln!
Die Summe durch einsetzen bestimmen:
[mm] \summe_{k=1}^{4} (-1)^{k-1} \bruch{1}{k} *x^k
[/mm]
1 + [mm] (-1)^{1-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1} [/mm] * [mm] (\bruch{3}{2})^1 [/mm] + [mm] (-1)^{2-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{3}{2})^2 [/mm] + [mm] (-1)^{3-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (\bruch{3}{2})^3 [/mm] + [mm] (-1)^{4-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] (\bruch{3}{2})^4 [/mm] + ...
1 + [mm] 1*1*\bruch{3}{2}-1*\bruch{1}{2}*(\bruch{3}{2})^2+1*\bruch{1}{3}*(\bruch{3}{2})^3-1*\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{2})^4
[/mm]
1 + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{9}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{27}{8} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \bruch{81}{16}
[/mm]
1 + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{9}{8} [/mm] + [mm] \bruch{27}{24} [/mm] - [mm] \bruch{81}{64}
[/mm]
So, ist diese Entwicklung der Summe soweit richtig ?
Oder muß ich dort noch das ln mit einbringen ?
z.B. so ?: 1 + [mm] (-1)^{1-1} [/mm] * [mm] ln(\bruch{1}{1} [/mm] * [mm] (\bruch{3}{2})^1) [/mm] + ...
Als erste vier Summanden würde sich nun folgendes ergeben:
1 + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{9}{8} [/mm] + [mm] \bruch{27}{24} [/mm] = 2,5
Dieser Wert ist doch recht hoch!
Die "1 +" muß doch verwendet werden oder habe ich hier einen Fehler gemacht?
Nutze ich folgendes: [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{9}{8} [/mm] + [mm] \bruch{27}{24} [/mm] - [mm] \bruch{81}{64} [/mm] = 0,234375
kommt ein Wert heraus, der näher an dem Taschenrechnerergebnis liegt: [mm] ln(\bruch{3}{2}) [/mm] = 0,4054651081
Die Differenz bei: [mm] \bruch{5}{2} [/mm] - [mm] ln(\bruch{3}{2}) \approx [/mm] 2,0945
von: [mm] \bruch{15}{64} [/mm] - [mm] ln(\bruch{3}{2}) \approx [/mm] -0,1710901081
2. Teil:
Bestimmen Sie ein N, so dass für x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und jedes n [mm] \ge [/mm] N gilt:
[mm] \varepsilon [/mm] = [mm] 10^{-6}
[/mm]
| ln(1+x) - [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \bruch{1}{k} *x^k| \le b_{k+1} \le \varepsilon
[/mm]
Muß ich hier nun noch eine neue Summe erzeugen für x = [mm] \bruch{1}{2}?
[/mm]
z.B.: 1 + [mm] (-1)^{1-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2})^1 [/mm] + [mm] (-1)^{2-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2})^2 [/mm] + [mm] (-1)^{3-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2})^3 [/mm] + [mm] (-1)^{4-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2})^4 [/mm] + ...
Nun würde ich wie ich es in anderen Aufgaben schon gemacht habe nach folgendem Muster vorgehen wollen:
[mm] |b_{k+1}| \le \varepsilon
[/mm]
Müßte ich hier dann einfach etwas annehmen und dann den Rest bestimmen ?
z.B.: | ln(1+x) - 1 + [mm] (-1)^{1-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2})^1 [/mm] + [mm] (-1)^{2-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2})^2 [/mm] + [mm] (-1)^{3-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2})^3 [/mm] |
Somit würde ich den nächsten Term nehmen und als:
[mm] b_{k+1} [/mm] = [mm] (-1)^{4-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] (x)^4
[/mm]
nutzen und alles nach x umstellen!
Um den Restfehler zu ermitteln!
Wären beide Lösungsansätze richtig ?
Habe ich noch Fehler gemacht ?
Danke im Vorraus für eure Hilfe :)
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Ich habe diese Aufgabe niergens anders gestellt
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> Aufgabe 7
> b)
> Für |x|<1 gilt bekanntlich ln(1+x) =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \bruch{1}{k} *x^k.[/mm]
>
> Berechnen Sie mit den ersten 4 Summanden einen
> Näherungswert für [mm]ln(\bruch{3}{2}),[/mm]
Hallo,
dann mußt Du doch x=1/2 nehmen!
Zur Abschätzung: Taylorreihe und Restglied waren dran?
Damit würde ich's versuchen. Taschenrechnergetippsel ist wohl eher nicht gemeint.
Gruß v. Angela
und bestimmen Sie die
> Differenz zu dem Wert von [mm]ln(\bruch{3}{2}),[/mm] den ein
> Taschenrechner liefert.
>
> Bestimmen Sie ein N, so dass für x = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und
> jedes n [mm]\ge[/mm] N gilt |ln(1+x) - [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \bruch{1}{k} *x^k| \le 10^{-6}[/mm]
>
>
>
>
> b)
> |x|<1
> ln(1+x) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \bruch{1}{k} *x^k[/mm]
>
> Vier Summanden ermitteln und Näherungswert für
> [mm]ln(\bruch{3}{2})[/mm] ermitteln!
>
> Die Summe durch einsetzen bestimmen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{4} (-1)^{k-1} \bruch{1}{k} *x^k[/mm]
>
>
> 1 + [mm](-1)^{1-1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{1}[/mm] * [mm](\bruch{3}{2})^1[/mm] +
> [mm](-1)^{2-1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](\bruch{3}{2})^2[/mm] + [mm](-1)^{3-1}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm](\bruch{3}{2})^3[/mm] + [mm](-1)^{4-1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> * [mm](\bruch{3}{2})^4[/mm] + ...
>
>
> 1 +
> [mm]1*1*\bruch{3}{2}-1*\bruch{1}{2}*(\bruch{3}{2})^2+1*\bruch{1}{3}*(\bruch{3}{2})^3-1*\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{2})^4[/mm]
>
>
> 1 + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\bruch{9}{4}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\bruch{27}{8}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] *
> [mm]\bruch{81}{16}[/mm]
>
>
> 1 + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{9}{8}[/mm] + [mm]\bruch{27}{24}[/mm] -
> [mm]\bruch{81}{64}[/mm]
>
> So, ist diese Entwicklung der Summe soweit richtig ?
>
> Oder muß ich dort noch das ln mit einbringen ?
>
> z.B. so ?: 1 + [mm](-1)^{1-1}[/mm] * [mm]ln(\bruch{1}{1}[/mm] *
> [mm](\bruch{3}{2})^1)[/mm] + ...
>
>
> Als erste vier Summanden würde sich nun folgendes
> ergeben:
>
> 1 + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{9}{8}[/mm] + [mm]\bruch{27}{24}[/mm] = 2,5
>
> Dieser Wert ist doch recht hoch!
> Die "1 +" muß doch verwendet werden oder habe ich hier
> einen Fehler gemacht?
>
> Nutze ich folgendes: [mm]\bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{9}{8}[/mm] +
> [mm]\bruch{27}{24}[/mm] - [mm]\bruch{81}{64}[/mm] = 0,234375
>
> kommt ein Wert heraus, der näher an dem
> Taschenrechnerergebnis liegt: [mm]ln(\bruch{3}{2})[/mm] =
> 0,4054651081
>
> Die Differenz bei: [mm]\bruch{5}{2}[/mm] - [mm]ln(\bruch{3}{2}) \approx[/mm]
> 2,0945
> von: [mm]\bruch{15}{64}[/mm] - [mm]ln(\bruch{3}{2}) \approx[/mm]
> -0,1710901081
>
>
>
> 2. Teil:
>
> Bestimmen Sie ein N, so dass für x = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und
> jedes n [mm]\ge[/mm] N gilt:
>
> [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]10^{-6}[/mm]
>
> | ln(1+x) - [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \bruch{1}{k} *x^k| \le b_{k+1} \le \varepsilon[/mm]
>
> Muß ich hier nun noch eine neue Summe erzeugen für x =
> [mm]\bruch{1}{2}?[/mm]
>
> z.B.: 1 + [mm](-1)^{1-1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{1}[/mm] * [mm](\bruch{1}{2})^1[/mm] +
> [mm](-1)^{2-1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](\bruch{1}{2})^2[/mm] + [mm](-1)^{3-1}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm](\bruch{1}{2})^3[/mm] + [mm](-1)^{4-1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> * [mm](\bruch{1}{2})^4[/mm] + ...
>
> Nun würde ich wie ich es in anderen Aufgaben schon gemacht
> habe nach folgendem Muster vorgehen wollen:
>
> [mm]|b_{k+1}| \le \varepsilon[/mm]
>
> Müßte ich hier dann einfach etwas annehmen und dann den
> Rest bestimmen ?
> z.B.: | ln(1+x) - 1 + [mm](-1)^{1-1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{1}[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{2})^1[/mm] + [mm](-1)^{2-1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{2})^2[/mm] + [mm](-1)^{3-1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{3}[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{2})^3[/mm] |
>
> Somit würde ich den nächsten Term nehmen und als:
> [mm]b_{k+1}[/mm] = [mm](-1)^{4-1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * [mm](x)^4[/mm]
> nutzen und alles nach x umstellen!
> Um den Restfehler zu ermitteln!
>
> Wären beide Lösungsansätze richtig ?
> Habe ich noch Fehler gemacht ?
>
>
> Danke im Vorraus für eure Hilfe :)
>
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>
> Ich habe diese Aufgabe niergens anders gestellt
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Hi Angela,
Danke für die schnelle Antwort!
Ja Taylor hatten wir, werde ich mir noch einmal ansehen, habe Taylor hier jetzt nicht in Bezug gebracht da ich dachte man könnte dies einfach mit dem Leipnizkriterium herleiten!
Was meinst du genau mit:
>dann mußt Du doch x=1/2 nehmen!
Also zwei mal Taylor durchgehen einmal mit x=3/2 und einmal mit x=1/2 ?
>Hallo,
>
>dann mußt Du doch x=1/2 nehmen!
>
>Zur Abschätzung: Taylorreihe und Restglied waren dran?
>Damit würde ich's versuchen. Taschenrechnergetippsel ist wohl eher nicht gemeint.
>
>Gruß v. Angela
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> Was meinst du genau mit:
> >dann mußt Du doch x=1/2 nehmen!
Hallo,
Du wolltest doch eine Näherung für ln(3/2), und das ist ln(1+x) mit x=1/2.
das meinte ich. Du hast eine Näherung für ln(5/2) berechnet.
Gruß v. Angela
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Ah - klar... jetzt habe ichs gepeilt!
Dankeschön ;)
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