Leibniz Reihe Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Fr 20.09.2013 | | Autor: | barosch |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
$ a_n := \summe_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\wurzel{n+1}}$ |
Hallo ihr lieben,
Nach dem Leipnizkriterium muss ich doch überprüfen ob $\frac{1}{\wurzel{n+1}$ eine streng monoton fallende Nullfolge ist.
Dann sollte die Reihe konvergerieren.
Ich habe es mit folgendem Ansatz versucht:
$a_{n+1} - a_n $ soll kleiner Null sein
$\frac{1}{\wurzel{n+2}} - \frac{1}{\wurzel{n+1}} $
= $\frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n+2}}{\wurzel{n+1}*\wurzel{n+2}}$
So jetzt kommen bestimmt noch coole Rechenschritte die ich aber nicht beherrsche, kann mir da jemand helfen?
Oder ist mein ganzer Ansatz falsch?
Danke im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
> [mm]a_n := \summe_{i=1}^{\\infty} \frac{(+1)^n}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
Oops: das soll vermutlich so heißen:
[mm] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} [/mm]
???
> Hallo ihr lieben,
>
> Nach dem Leipnizkriterium muss ich doch überprüfen ob
> [mm]\frac{1}{\wurzel{n+1}[/mm] eine streng monoton fallende
> Nullfolge ist.
Autsch. Der Mann hieß Leibniz. Und sein Kriterium ist hier gemeint. 
> Dann sollte die Reihe konvergerieren.
>
> Ich habe es mit folgendem Ansatz versucht:
>
> [mm]a_{n+1} - a_n[/mm] soll kleiner Null sein
> [mm]\frac{1}{\wurzel{n+2}} - \frac{1}{\wurzel{n+1}} [/mm]
> =
> [mm]\frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n+2}}{\wurzel{n+1}*\wurzel{n+2}}[/mm]
> So jetzt kommen bestimmt noch coole Rechenschritte die ich
> aber nicht beherrsche, kann mir da jemand helfen?
Ich glaube, da ist einfach der Ansatz mit der Differenz schlecht gewählt. Da die Nenner positiv sind, würde auch
[mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}} \leq{1}[/mm]
für die Monotonie hinreichen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Fr 20.09.2013 | | Autor: | barosch |
Vielen herzlichen Dank!,
du hattest recht mit der Aufgabenstellung :).
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