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Huhu zusammen ;)
Ich versuch grade die Leibniz Formel zu verstehen mir ist die Summenschreibweise ein Rätsel. Ich habe mir mal ein Beispiel rausgesucht, an dass ich das verstehen möchte, und zwar
https://vorhilfe.de/forum/Determinanten/t90542?mrsessionid=b54635b6eb6d7667edf264be5f26a2f304ee31b9
betrachte ich die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
Ich verstehe das mit dem Signum hier nur halbwegs. Ich habe das Signum schonmal früher berechnet . Da habe ich z.b.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 } [/mm]
gehabt und dann ist man so vorgegangen, dass man geguckt hat in der zweiten zeile wie die zahlen größer bzw kleiner werden.. Also
da 3 > 2 und 4 > 2 ist, gibt es 2 Fehlstände und das Signum wäre [mm] (-1)^2 [/mm] also pos.
Jetzt weiß ich nicht wie ich das hier mache. Wieso betrachtet man zunächst
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1& 2} [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 2 \\2& 1} [/mm] Woher kamen diese Matrizen?
Lg,
Eve
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Sa 11.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Hallo, Evelyn!
Da man da gerne mal in Verwirrung gerät, es aber wichtig ist, dass man das Prinzip grundsätzlich verstanden hat, mache ich es mal ein bisschen ausführlicher.
Man betrachtet also die Matrix
[mm] $M=\left(m_{ij}\right)_{1\leq i,j\leq 2}=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}.
[/mm]
Die Leibnizformel besagt nun
[mm] $\operatorname{det}(M)=\sum\limits_{\pi\in S_2}\operatorname{sig}(\pi)m_{1,\pi(1)}\cdot m_{2,\pi(2)}$
[/mm]
[mm] $S_2$ [/mm] ist die Menge aller Permutationen der Menge [mm] $\left\{1,2\right\}$ [/mm] und wird auch als symmetrische Gruppe bezeichnet.
Du musst also erstmal alle Permutationen der Menge [mm] $\left\{1,2\right\}$ [/mm] herausfinden. Das ist ja in diesem Fall nicht besonders schwer:
[mm] $\operatorname{card} S_2=2!=2$, [/mm] nämlich
[mm] $\pi_1=\begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 2\end{pmatrix}$ [/mm] bzw. in Zykelschreibweise [mm] $\pi_1=(1)(2)\in S_2$ [/mm] sowie
[mm] $\pi_2=\begin{pmatrix}1 & 2\\2 &1\end{pmatrix}$ [/mm] bzw. [mm] $\pi_2=(12)$\in S_2$
[/mm]
In dem von Dir verlinkten Beitrag wurde die Matrix-Schreibweise für die Permutationen verwendet. Ich persönlich bevorzuge die Zykelschreibweise, aber das ist letztlich eine reine Geschmackssache.
Damit konkretisiert sich obige Formel zu:
[mm] $\operatorname{det}(M)=\operatorname{sig}(\pi_1)\cdot \underbrace{m_{1,\pi_1(1)}}_{=1}\cdot \underbrace{m_{2,\pi_1(2)}}_{=4}+\operatorname{sig}(\pi_2)\cdot \underbrace{m_{1,\pi_2(1)}}_{=2}\cdot \underbrace{m_{2,\pi_2(2)}}_{=3}$
[/mm]
Jetzt müssen bloß noch [mm] $\operatorname{sig}(\pi_1)$ [/mm] und [mm] $\operatorname{sig}(\pi_2)$ [/mm] bestimmt werden.
Dazu ermittelt man die Fehlstände.
Du musst Dir dazu, wie Du schon sagst, alle Paare $(i,j)$ mit $i<j$ und [mm] $i,j\in\left\{1,2\right\}$ [/mm] anschauen (hier also nur das Paar $(1,2)$) und dann gucken, ob [mm] $\pi_1(1)<\pi_1(2)$ [/mm] bzw. [mm] $\pi_2(1)<\pi_2(2)$. [/mm] Wenn die Anzahl der "Neins" gerade ist, handelt es sich um eine gerade Permutation und das Signum ist 1.
Hier hat man:
[mm] $\pi_1(1)=1<\pi_1(2)=2$ [/mm] und damit hat man 0 Fehlstande, also ist [mm] $\operatorname{sig}(\pi_1)=1$.
[/mm]
[mm] $\pi_2(1)=2>\pi_2(2)=1$, [/mm] also hat man 1 Fehlstand und damit [mm] $\operatorname{sig}(\pi_2)=-1$
[/mm]
Das oben eingesetzt ergibt [mm] $\operatorname{det}(M)=-2$.
[/mm]
Viele Grüße
Dennis
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Wunderbar ich danke dir! Ich habs verstanden und mir ist auch klar, warum diese berechnung der Determinante für große Matrizen unglücklich ist, da man ja bei nxn Matrizen n! Anordnungen betrachten müsste!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 So 12.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Bitte, gerne. 
Ich freue mich immer, wenn ich hier auch mal helfen kann.
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