Leibniz Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Sa 23.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei [mm] $\sum_{}^{} (-1)^{k}a_{k}$ [/mm] eine Reihe mit [mm] $(a_{k})_{k\in \IN}$ [/mm] monoton fallend und [mm] $\limes_{k \rightarrow \infty} a_{k}=0$ [/mm] . Beweise:
Dann konvergiert [mm] $\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}$ [/mm] |
Hallo,
Cauchy Kriterium muss erfüllt werden:
[mm] $\forall \epsilon>0 [/mm] ~ [mm] \exists n_{0}~ \forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge n_{0}: |\sum_{k=n}^{m} (-1)^{k}a_{k}| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
Also sucht man eine Abschätzung:
Es gilt die fallende Monotonie für [mm] $a_{k}$: $a_{k}-a_{k+1}>0 [/mm] ~ [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN$
[/mm]
Damit muss für den Wert der Reihe gelten:
[mm] $|\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}| [/mm] = [mm] |(-1)^{n}a_{n}+(-1)^{n+1}a_{n+1}+(-1)^{n+2}a_{n+2}...|$
[/mm]
[mm] $=|(-1)^{n}(a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+3}...)| [/mm] $
[mm] $=(a_{n}-a_{n+1})+(a_{n+2}-a_{n+3})...$
[/mm]
[mm] $=a_{n}-(a_{n+1}-a_{n+2})-(a_{n+3}-a_{n+4})$
[/mm]
[mm] $\le a_{n} [/mm] = [mm] |a_{n}|$
[/mm]
Die gefundene Abschätzung in das Cauchy Kriterium einsetzen:
[mm] $\forall m\ge [/mm] n [mm] \ge n_{0}: |\sum_{k=n}^{m}(-1)^{k}a_{k}| \le |a_{n}| \le \epsilon$
[/mm]
Ist das so OK?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Fourm gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 So 24.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]\sum_{}^{} (-1)^{k}a_{k}[/mm] eine Reihe mit [mm](a_{k})_{k\in \IN}[/mm]
> monoton fallend und [mm]\limes_{k \rightarrow \infty} a_{k}=0[/mm] .
> Beweise:
>
> Dann konvergiert [mm]\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}[/mm]
> Hallo,
>
>
> [mm]\forall \epsilon>0 ~ \exists n_{0}~ \forall m \ge n \ge n_{0}: |\sum_{k=n}^{m} (-1)^{k}a_{k}| < \epsilon[/mm]
>
> Es gilt: [mm]a_{k}-a_{k+1}>0 ~ \forall k \in \IN[/mm]
>
> Damit:
> [mm]|\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}| = |(-1)^{k}a_{k}+(-1)^{k+1}a_{k+1}+(-1)^{k+2}a_{k+2}...|[/mm]
>
> [mm]=|(-1)^{k}(a_{k}-a_{k+1}+a_{k+2}-a_{k+3}...)|[/mm]
> [mm]=(a_{k}-a_{k+1})+(a_{k+2}-a_{k+3})...[/mm]
> [mm]=a_{k}-(a_{k+1}-a_{k+2})-(a_{k+3}-a_{k+4})[/mm]
> [mm]\le a_{n} = |a_{n}|[/mm]
>
> [mm]\forall m\ge n \ge n_{0}: |\sum_{k=n}^{m}(-1)^{k}a_{k}| \le |a_{n}| \le \epsilon[/mm]
>
>
> Ist das so OK?
kommentiere das bitte, denn ich verstehe gar nicht, was Du da machst.
Ich will Dir den Beweis nicht ganz schenken, deshalb hast Du ein wenig "Stöberarbeit": Du findest ihn ![[]](/images/popup.gif) in diesem Skript.
Es ist zu beachten, dass man dabei insbesondere die Monotonie der Folge der Summanden benutzt und bei der Reihe mit Teilfolgen konvergiert. (Eine Reihe ist die Folge ihrer Teilsummen, und eine Folge konvergiert genau dann, wenn die Teilfolge mit den geraden Indizes und die Teilfolge mit den ungeraden Indizes gegen den selben Grenzwert streben.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 So 24.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> kommentiere
Ich habe Kommentare hinzugefügt .
> Skript
Dort steht der gleiche Beweis wie in meinem Buch und ähnlich wie auf Wikipedia. Dein Skript hat auch dieselbe Abschätzung wie ich aber auf anderem Wege.
> GruB
Danke!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 So 24.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Fehler in deinem Beweis sind die Pünktchen.....,
du darfst in ner unendlichen Summe nicht ohne Beweis so zusammenfassen, während du es in einer endlichen summe natürlich kannst. es bleibt also nur der beweis über die teilsummen, wie er etwa in wiki steht.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 So 24.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Pünktchen
Ich habe einige Dinge vergessen. Bleibt der Beweis so falsch:
$ [mm] |\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}a_{k}| [/mm] = [mm] |(-1)^{n}a_{n}+(-1)^{n+1}a_{n+1}+(-1)^{n+2}a_{n+2}+...| [/mm] $
$ [mm] =|(-1)^{n}(a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+3}\pm...)| [/mm] $
$ [mm] =(a_{n}-a_{n+1})+(a_{n+2}-a_{n+3}) [/mm] + ... $
$ [mm] =a_{n}-(a_{n+1}-a_{n+2})-(a_{n+3}-a_{n+4}-...)$
[/mm]
$ [mm] \le a_{n} [/mm] = [mm] |a_{n}| [/mm] $
?
> gruss
Danke
Gruss
kushkush
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Moin kushkush,
> Hallo,
>
> > Pünktchen
>
> Ich habe einige Dinge vergessen. Bleibt der Beweis so
> falsch:
>
>
EDIT: Man muss ein endliches Endstück der Summe betrachten: Siehe leduarts Korrekturmitteilung. Sei etwa 0<n<m :
> [mm]|\sum_{k=\red{n}}^{\red{m}}(-1)^{k}a_{k}| = |(-1)^{n}a_{n}+(-1)^{n+1}a_{n+1}+(-1)^{n+2}a_{n+2}+...|[/mm]
>
> [mm]=|(-1)^{n}(a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}-a_{n+3}\pm...)|[/mm]
>
> [mm]=(a_{n}-a_{n+1})+(a_{n+2}-a_{n+3}) + ...[/mm] (wozu diese Zeile?)
>
> [mm]=a_{n}-(a_{n+1}-a_{n+2})-(a_{n+3}-a_{n+4}\red{)}-...[/mm]
>
> [mm]\le a_{n} = |a_{n}|[/mm]
>
> ?
Vom Prinzip her ist das richtig, aber wie leduart andeutete etwas salopp (für die Pünktchen kannst du auch eine Summe schreiben).
Bei dir fließen eine ganze Menge Nebenargumente ein, die du hier nicht gekennzeichnet hast (aber weiter oben):
[mm] a_n\geq0 [/mm] sowie [mm] (a_n-a_{n+1})\geq0 [/mm] für alle n, da [mm] a_n [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Am Ende Cauchy ...
>
>
> > gruss
>
> Danke
>
>
> Gruss
> kushkush
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 So 24.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
> richtig aber salopp
Ok. Danke.
> LG
Gruss
kushkush
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:14 So 24.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
salopp kann man das nicht mehr nennen, soweit ich sehe ist es einfach falsch.
woraus geht hervor, dass
$ [mm] =a_{n}-(a_{n+1}-a_{n+2})-(a_{n+3}-a_{n+4}-...) [/mm] $
die letzte kllammer nicht negativ ist und größer als die davor.
so "salopp" kann man nicht mit unendlich vielen Summanden umgehen!
Gruss leduart
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