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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Do 16.11.2006 | | Autor: | diego |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, und sei A = [mm] (a_{ij}) \in M_{66} [/mm] (K).
Welche Summanden von det(A) in der Leibnitzformel enthalten den Faktor [mm] a_{12}a_{34}a_{56}, [/mm] und welche Vorzeichen haben diese Summanden? |
Guten Mittag an alle,
ich habe jetzt alle Summanden aufgeschrieben und nur der zweite Summand (er lautet [mm] a_{12}a_{23}a_{34}a_{45}a_{56}a_{61}) [/mm] enthält diesen Faktor (und ist positiv), es gibt jedoch noch drei Summanden die jerweils einen Teil des Faktors enthalten, aber die sind doch für die Aufgabe nicht wichtig, oder?
Bin mir nicht sicher, ob meine lösung richtig bzw. komplett ist, da in der aufgabenstellung ja von Summanden gesprochen wird und das deutet ja auf mehrere hin.
Danke,
Yvonne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
auch wenn es zur Lösung der Aufgabe nicht beiträgt:
Leibniz heißt der kluge Mann. Wie die Kekse.
Gruß v, Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Do 16.11.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Yvonne,
>
> ich habe jetzt alle Summanden aufgeschrieben
...alle 720 Stück? Respekt!!
> und nur der
> zweite Summand (er lautet
> [mm]a_{12}a_{23}a_{34}a_{45}a_{56}a_{61})[/mm] enthält diesen Faktor
> (und ist positiv), es gibt jedoch noch drei Summanden die
> jerweils einen Teil des Faktors enthalten, aber die sind
> doch für die Aufgabe nicht wichtig, oder?
>
> Bin mir nicht sicher, ob meine lösung richtig bzw. komplett
> ist, da in der aufgabenstellung ja von Summanden gesprochen
> wird und das deutet ja auf mehrere hin.
>
Naja, vielleicht haben doch ein paar Summanden gefehlt.
Die Bildung der einzelnen Faktoren bei der Lebnizformel stelle ich mir immer so vor, dass ich von links nach rechts durch die Matrix laufe und dabei jede Zeile genau einmal besuchen muss. Ein solcher Weg ergibt sich, wenn man die zweiten Idizes der Matrixelemente durchpermutiert. Um alle Summanden zu bekommen muss jeder so mögliche Weg dabei sein. Im Fall einer 6x6-Matrix gibt es dann ja 6!=720 mögliche Permutationen, also ebensoviele Summanden.
Es bleibt die Frage, welche Permutationen es gibt, in denen gilt, dass
1 -> 2
3 -> 4
5 -> 6
abgebildet wird. Da dann nur noch für 2, 4 und 6 die Bilder 1, 3 und 5 frei wählbar sind wären das also noch 3! Summanden - welche das sind und das zugehörige Vorzeichen darfst Du noch rausfinden.
Viel Spaß!
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Fr 17.11.2006 | | Autor: | diego |
Hallo,
danke (!!) ich konnte jetzt die sechs Permutationen ermittelt, und bei drei davon das Vorzeichen.
Aber wie ermittel ich das Vorzeichen bei 12, 23, 34, 41, 56, 65? Da ich ja erst die Diagonale entlang gehe und dann die Gegendiagonale .
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin diego!
weiß nich 100%ig ob ich piet richtig verstanden habe aber werde mal versuchen eine dir eine Antwort zu geben.
Werde die einzelnen Permutationen betrachten und die Matrix als solche ersteinmal völlg ausser Acht lassen. Das die Reihenfolge der Faktoren in den Summanden unter Umständen eine andere ist, als auf dem Weg Leibnizformel, kann uns ja auf Grund der Kommutativität von [mm] \IR [/mm] egal sein.
Was wir wissen ist:
[mm] $\sigma_i=\vektor{1&2&3&4&5&6\\2&?&4&?&6&?}$
[/mm]
die die konkreten Zuordnungen entstehen aus dem gegebenen Faktoren [mm] a_{i\sigma(i)}. [/mm] Bleiben also noch die Fragezeichen, für die es 3!=6 Anordnungen gibt. Wenn du nun zeitweise :
$1'=2$ $2'=4$ $3'=6$ setzt und $1''=1$ $2''=3$ $3''=5$
brauchst du nur noch die bekannten Permutationen von [mm] S_3 [/mm] einsetzen:
[mm] $\sigma_1=\pmat{1'&2'&3'\\2''&3''&1''}$ $\sigma_2=\pmat{1'&2'&3'\\3''&1''&2''}$ $\sigma_3=id=\pmat{1'&2'&3'\\1''&2''&3''}$ [/mm]
[mm] $\sigma_4=\pmat{1'&2'&3'\\1''&3''&2''}$ $\sigma_5=\pmat{1'&2'&3'\\2''&1''&3''}$ $\sigma_6=\pmat{1'&2'&3'\\3''&2''&1''}$ [/mm]
Durch Rücksubstitution erhälst du dann z.B. mit [mm] \sigma_3
[/mm]
[mm] $\sigma_1'=\vektor{1&2&3&4&5&6\\2&1&4&3&6&5}$
[/mm]
und für dieses [mm] \sigma_1' [/mm] zB brauchst du dann nur nur [mm] $sgn(\sigma_1')$ [/mm] nach Verfahren aus Kurseinheit 1 bestimmen und daraus ergibt sich das Vorzeichen des Summanden in der Leibnizformel.
hoffe das stimmt soweit erst mal
MfG
Sashman
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