Legendre Polynome < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Sa 12.05.2007 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Die Legendre_Polynome sind definiert durch
[mm] P_{0}(x)=1, P_{n}(x)=\bruch{1}{2^n \cdot{} n!}\cdot{}\bruch{d^n (x^2 -1)^n}{dx^n}.
[/mm]
Man zeige: Die [mm] P_{n} [/mm] entstehen aus den Monomen [mm] x^{n}, [/mm] n=0,1,2,... durch Orthogonalisierung nach dem Gram-Schmidt-Verfahren, wenn man die Normierung mit dem Normierungsfaktor [mm] \bruch{2}{2*n+1} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{P^{2}_{n}(x) dx} [/mm] voraussetzt. |
Hallo zusammen,
habe mich u.a. auf der Seite von wikipedia belesen und kann das alles auch ziemlich gut nach vollziehen aber ich habe ein paar Probleme das ganze richtig und verständlich aufzuschreiben. Folgendes habe ich mir dazu überlegt:(erstmal nur der Ansatz)
[mm] (1,x,x^2,...,x^n) [/mm] sind linear unabhängige Vektoren die eine Basis des [mm] \IR^n [/mm] darstellen. Gesucht sind die orthonormalen Vektoren des [mm] \IR^n (P_{0}(x),P_{1}(x),...,P_{n}(x))
[/mm]
Ich nehme mir jetzt den Vektor [mm] v_{0}=1 [/mm] und sage
[mm] ||v_{0}||^2 [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}(1)dx [/mm] = [mm] x|_{-1}^{1} [/mm] = 2 damit ist [mm] ||v_{0}|| [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Nun erhalte ich also ein [mm] w_{0}=\bruch{v_{0}}{||v_{0}||} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] aber ebenso kann ich auch folgendes aussagen:
[mm] \wurzel{2}=\wurzel{\bruch{2}{2*n+1}} [/mm] für n=0 genauer [mm] \wurzel{2}= \wurzel{\integral_{-1}^{1}{P^{2}_{0}(x) dx}}*P_{0}(x) [/mm] und somit kann ich [mm] P_{0}(x)=1 [/mm] setzen bzw. ich rechne [mm] w_{0}* \wurzel{\integral_{-1}^{1}{P^{2}_{0}(x) dx}}=1.
[/mm]
Ich denke mal ich hab das grob verstanden aber irgendwie fehlt da noch so ein bißchen die Struktur. Vielleicht kann mir ja von euch einer weiterhelfen. Bin dankbar für jeden Hinweis.
Gruß
vicky
|
|
| |
|
> Die Legendre_Polynome sind definiert durch
> [mm]P_{0}(x)=1, P_{n}(x)=\bruch{1}{2^n \cdot{} n!}\cdot{}\bruch{d^n (x^2 -1)^n}{dx^n}.[/mm]
>
> Man zeige: Die [mm]P_{n}[/mm] entstehen aus den Monomen [mm]x^{n},[/mm]
> n=0,1,2,... durch Orthogonalisierung nach dem
> Gram-Schmidt-Verfahren, wenn man die Normierung mit dem
> Normierungsfaktor [mm]\bruch{2}{2*n+1}[/mm] =
> [mm]\integral_{-1}^{1}{P^{2}_{n}(x) dx}[/mm] voraussetzt.
>
> [mm](1,x,x^2,...,x^n)[/mm] sind linear unabhängige Vektoren die eine
> Basis des [mm]\IR^n[/mm] darstellen.
Hallo,
zwei Dinge: wir haben es nicht mit einer endlichen Basis zu tun, und wir betrachten nicht den [mm] \IR^n.
[/mm]
Wir befinden uns gerade in Vektorraum der reellen Polynome [mm] \IR[x].
[/mm]
Dieser ist nicht endlichdimensional.
Eine Basis dieses Vektorraumes ist [mm] (x^0,x^1,x^2,...)=(x^k| k\in \IN_0).
[/mm]
Dieser Vektorraum ist mit einem Skalarprodukt [mm] :=\integral_{-1}^{1}{p(x)q(x) dx} [/mm] versehen.
Gesucht ist nun die ONB des besagten Vektorraumes, welche man mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungs/-normalisierungsverfahren findet.
Und weiter ist zu zeigen, daß die Basis [mm] (u_0,u_1,u_2,...), [/mm] die man bei der Orthonormalisierung erhält, gerade aus den normierten Legendre_Polynomen besteht, daß also [mm] u_k=\bruch{1}{||P_k||}P_k.
[/mm]
Ich habe es jetzt nicht durchgerechnet (habe allerdings das starke Gefühl, es schonmal früher getan zu haben in einer HÜ), aber ich gehe davon aus, daß man das mit Induktion machen kann.
Vor deBeweis würde ich aber erstmal ein paar der neuen orthonormalen Vektoren ausrechnen und gucken, wie's so geht, und ob da wirklich normierte Legendre-Polynome herauskommen.
> Nun erhalte ich also ein $ [mm] w_{0}=\bruch{v_{0}}{||v_{0}||} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] $ aber ebenso kann ich auch folgendes aussagen:
Du hast nun den ersten Vektor normiert.
Nun mußt Du feststellen, ob das das normierte nullte Legendre-Polynom ist.
Es ist's, denn [mm] \bruch{P_0(x)}{||P_0(x)||}=\bruch{1}{\wurzel{\integral_{-1}^{1}{1dx}}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 So 13.05.2007 | | Autor: | vicky |
Hallo nochmal,
ich bin da jetzt doch ein wenig irritiert.
Was habe ich denn nun mit [mm] \bruch{1}{\wurzel {2}} [/mm] erreicht? Ist daraus jetzt das erste bzw. nullte Legendre Polynom entstanden? Das ist doch aber als [mm] P_{0}(x)=1 [/mm] definiert. Tut mir leid wenn ich mich da so schwer tue aber ich würde das wirklich gerne verstehen und nachvollziehen können.
Beste Grüße und vielen Dank schonmal im voraus
vicky
|
|
|
| |
|
> ich bin da jetzt doch ein wenig irritiert.
> Was habe ich denn nun mit [mm]\bruch{1}{\wurzel {2}}[/mm] erreicht?
> Ist daraus jetzt das erste bzw. nullte Legendre Polynom
> entstanden? Das ist doch aber als [mm]P_{0}(x)=1[/mm] definiert.
Du hast die Basis [mm] (x^0,x^1,x^2,x^3,...) [/mm] des [mm] \IR[x] [/mm] und hast nun den ersten Basisvektor normiert.
Dieser Vektor, [mm] u_0(x):=\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
ist der erste Vektor Deiner noch zu berechnenden ONB.
Die Aufgabenstellung ist vielleicht etwas blöde formuliert, es ist gemeint:
zeige, daß bei der Orthonormierung dieser Basis mit dem Gram-Schmidt-Verfahren die normierten Legendre Polynome entstehen.
Den ersten Vektor hast Du nun ja.
Jetzt müssen wir gucken, ob [mm] u_0 [/mm] das nullte normierte Legendre Polynom ist.
Gucken wir uns das normierte nullte Legendre-Polynom an. Die Def. der Legendre-Polynome und die durch unser Skalarprodukt induzierte Norm verwendend erhalten wir:
Nulltes normiertes Legendre-Polynom [mm] =\bruch{P_0(x)}{||P_0(x)||} =\bruch{1}{||1||} ==\bruch{1}{\wurzel{\integral_{-1}^{1}{1*1 dx}}} =\bruch{1}{\wurzel{2}},
[/mm]
woran man sieht, daß [mm] u_0(x)=\bruch{P_0(x)}{||P_0(x)||}. [/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 So 13.05.2007 | | Autor: | vicky |
Hallo angela.h.b.,
vielen dank schon mal für die ausführliche Antwort. Aber nun stolpere ich schon wieder wegen dem zweiten Vektor. Dieser ist ja als [mm] v_{1} [/mm] = x angegeben.
Kannst du mir da vielleicht nochmal helfen? Bzw. ein Hinweis reicht auch.
Ich kann doch jetzt nicht einfach [mm] u_{1}(x)=\bruch{x}{||x||} [/mm] rechnen oder? Wie kann ich denn sowas ausrechnen?
Beste Grüße
vicky
|
|
|
| |
|
> Aber
> nun stolpere ich schon wieder wegen dem zweiten Vektor.
> Dieser ist ja als [mm]v_{1}[/mm] = x angegeben.
> Kannst du mir da vielleicht nochmal helfen? Bzw. ein
> Hinweis reicht auch.
In Anbetracht einer gewissen Bettschwere will ich es mit einem Hinweis bewenden lassen.
Guck Dir nochmal das Gram-Schmidt-Verfahren an.
Mit diesem berechnest Du nun den nächsten Vektor Deiner zu erschaffenden ONB.
Beachte, daß Du als Skalarprodukt das Ding mit dem Integral nehmen mußt.
Beachte weiter, daß [mm] u_0 [/mm] bereits normiert ist, so daß [mm] =1, [/mm] was die Sache vereinfacht.
Wenn Du Deinen normierten Ergebnisvektor [mm] u_1(x) [/mm] hast, mußt Du zeigen, daß er [mm] =\bruch{P_1(x)}{||P_1(x)||} [/mm] ist.
Gruß v. Angela
P.S.: Der richtige Beweis ist bestimmt auch irgendwo in der einschlägigen Fachliteratur zu finden. Ich meine, daß das bei uns in der Numerischen Mathematik 1 dran war.
|
|
|
|
