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Hallo zusammen! Wir haben gestern über folgendes Problem diskutiert und sind nicht so recht voran gekommen:
Gegeben sei [mm] $f:\IR \longrightarrow \IR; x\mapsto [/mm] 8$.
Was ist das Bild der leeren Menge unter dieser Funktion!
Meiner Meinung nach ist es [mm] \{8\}, [/mm] da jedem Element, auch wenn in der leeren Menge keine vorhanden sind, die Zahl 8 zugeordnet wird.
Mein Freund dagegen meint, dass es wieder die leere Menge sei!
Wer hat denn nun Recht?
Gruß Deuterinomium
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Mal ne ganz dumme Frage:
Gibt es denn überhaupt eine Funktion $g$ mit [mm] $g(\emptyset)\not=\emptyset$?
[/mm]
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Das kommt darauf an was du meinst. Wenn [mm] $g:M\to [/mm] N$ eine Abbildung zwischen Mengen ist. Dann ist $g(x)$ Elemente [mm]x\in M[/mm] einfach dasjenige Element in N, auf das $x$ durch g eben abgebildet wird (Diese Definition ist nicht streng mathematisch zu verstehen. Um es ganz präzise hinschreiben zu können braucht man die Definition von Funktionen als linkstotale rechtseindeutige Relation zwische M und N). In diesem Sinne kann sehr wohl [mm] $g(\emptyset)\ne\emptyset$ [/mm] sein. Beispiel es gibt genau eine Funktion [mm] $g:\{\emptyset\}\to\{1\}$, [/mm] und dann gilt eben [mm] $g(\emptyset)=1$. [/mm] Und so weltfremd wie das jetzt aussieht ist das gar nicht, z.B. in der Maßtheorie hat man Funktionen (Maße), die einer Menge von Mengen (dem Maßraum) reelle Zahlen zuordnen, und da gilt dann immer [mm] $\mu(\emptyset)=0$
[/mm]
Nun gibt es aber auch noch die induzierte Funktion [mm] $$\Phi:\mathfrak{P}(M)\ni A\mapsto\{f(x)\in N\mid x\in A\}\in\mathfrak{P}(N).$$ [/mm] Diese (induzierte) Funktion nennt man überlicherweise auch einfach f, was in sofern sinnvoll ist als, dass [mm] $f(\{x\})=\{f(x)\}$ [/mm] ist... naja wers mag. Auf jeden Fall gilt für diese Funktion nur in jedem Falle [mm] $\Phi(\emptyset)=\emptyset$, [/mm] wie ich in der anderen Frage auch schon geschrieben habe.
Kategorientheoretisch ist [mm] $\Phi=\mathfrak{P}_\*(f)$ [/mm] wobei [mm] $\mathfrak{P}$ [/mm] der naheliegende kovariante Funktor der Kategorie der Mengen mit Abbildungen in sich ist (wollte nur mal klugscheißen).
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Dein Freund hat Recht. Nach Definition des Bildes einer Menge ist [mm] $f(\emptyset)=\{f(x)\in\IR\mid x\in\emptyset\}=\emptyset$.
[/mm]
Gruß, Robert
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