Lebesguescher Zerlegungssatz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:27 Do 10.06.2010 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
ich bereite mich auf eine Doplomprüfung und gehe die Vorlesung durch und bin gerade beim Lebesqueschen Zerlegungssatz.
Ich habe Verständnisprobleme beim Beweis und bin mir nicht sicher,
ob ich denn Sinn des Satzes verstanden habe .
Lebesquescher Zerlsungssatz
Seien [mm] \mu, \nu \ }\ \signa[/mm] - endliche Maße. Dann gibt es
eine messbare Funktion [mm] f: \Omega \to \left[0,\infty \right] [/mm], [mm] \exist
B \in \mathcal A [/mm] mit:
[mm] \nu(A) = \integral_{A} f d\mu + \nu(A \cap B ) \ \ \forall A \in \mathcal A. [/mm] und [mm] \mu(B) = 0 [/mm] , [mm] f, 1_{B} \ \ \nu [/mm] f.ü.
Beweis :
1. definiere [mm] \rho = \nu + \mu [/mm].
Dann ist [mm] \rho \ \ \sigma[/mm] - endlich.
[mm] \mu \ll \rho \Rightarrow \bruch{d \mu}{d \rho} [/mm] existiert.
Definiere [mm] B = \{ \bruch{d \mu}{d \rho} = 0 \} \Rightarrow \mu(B) = \integral_{B} \bruch{d \mu}{d \rho} d \rho = 0 [/mm]
Zerlege: [mm] \nu = \nu_{B^c} + \nu_B [/mm]
Behauptung: [mm] \nu_{B^c}\ll \mu [/mm]
Sei [mm] \mu(A) = 0 [/mm] .
[mm] 0 = \mu (A \cap B^c ) = \integral \bruch{d \mu}{d \rho} 1_{A \cap B^c } d \rho = 0 [/mm]
[mm] \Rightarrow 0 = \rho ( A \cap B^c ) \ge \nu ( A \cap B^c ) = \nu_{B^c} (A) [/mm].
wähle
[mm] f = \bruch{d \nu_{B^c} }{d \mu} [/mm].
Warum zerlegen wir das Maß [mm] \nu [/mm] ??? Ich habe danach irgendwie den Faden verloren :-( ...
Sehe ich das richtig, dass der satz aussagt, dass wenn wir zwei endliche Maße haben, dann muss das eine nicht notwendigerweise eine Dichte bezüglich des anderen Maßes haben... ??? Oder was steckt hinter diesem
Satz???
Vielen dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 18.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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