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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Wert von:
[mm] lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^{\infty} (1+\frac{x}{n})^{-n} x^{-\frac{1}{n}} d\mu(x) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich möchte also diese Aufgabe lösen und brauche da vermutlich irgendwie monotone oder dominierte Konvergenz. Allerdings seh ich nicht, wie ich die bekommen soll, der zweite Faktor mit der Potenz von x ist etwas störend...
x kann beliebig groß werden und damit seh ich nicht, wie ich eine dominierende, integrierbare Funktion finden kann. Monotonie gilt doch aber sicher auch nicht mehr, da für x <1 die Potenz von x mit steigendem n immer größer werdende Werte annimmt, während der linke Ausdruck monoton gegen e invers fällt.
Muss ich dieses Integral vielleicht in zwei Teile zerlegen, einer bis 1 und einer der Rest darüber? Vielen Dank für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
$ [mm] lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^{\infty} (1+\frac{x}{n})^{-n} x^{-\frac{1}{n}} d\mu(x)= \lim_{n\to\infty}\int_0^\infty \frac1{(1+\frac xn)^n\sqrt[n]{x}} [/mm] \ dx$
ich weiß nicht, ob ich Dich richtig verstanden habe, aber ich glaube Du mißverstehst das Verhalten von der Funktion. Plotte sie mal für verschiedene Werte von n.
> Muss ich dieses Integral vielleicht in zwei Teile zerlegen, einer bis 1 und einer der Rest darüber?
Das Integral nicht, aber Du kannst die dominierende Funktion durchaus stückweise (<1, >1) definieren.
ciao
Stefan
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| Aufgabe | Dies ist eine Rückfrage, deshalb muss ich eigene Worte benutzen. 
Vielen Dank erstmal für deine Hilfe. Neues Problem ist nun also das Finden der dominierenden Funktion. |
Beim Verhalten der Funktion ging ein bisschen was daneben.
Ich habe nun für x größer als 1 das Inverse der Exponentialfunktion als Dominante. Bleibt das Intervall (0,1). Hier könnte ich doch sagen, dass der erste Faktor gleichmäßig gegen e^-1 konvergiert und der zweite gleichmäßig gegen die Konstante 1. Dann konvergiert ihr Produkt doch gleichmäßig und somit konvergiert das Integral der Funktionenfolge gegen das Integral des Grenzwerts der Funktionenfolgen, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Di 30.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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