Lebesgue'sches Integrabilitäts < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweis:
http://www.math.tu-dresden.de/~timmerma/texte/lebesgue1.pdf |
Hallo,
Ich versuche den Beweis des Lebesgue'schen Integrabilitätskriteriums, welcher unter dem obenstehenden Link zu finden ist (unten stehendes Theorem), nachzuvollziehen.
Ich befinde mich noch im ersten Teil, also der Hin-Richtung.
Ich habe mich schon bis zu der Bildung der Summen [mm] $\sum [/mm] _1$ und [mm] $\sum [/mm] _2$ vorgekämpft. Nun zu meinen Fragen:
1. In welchem Zusammenhang stehen Unter-/Obersumme zu den Intervallen an den Stellen, wo f stetig bzw. unstetig ist?
2. Wie kommen die Abschätzungen mit $2C$ bzw. $|I|$ zustande?
Der letzte Schritt ist mir dann, glaube ich, klar. Da [mm] $\epsilon$ [/mm] beliebig klein ist, konvergieren Untersumme und Obersumme zu einem identischen Wert, welcher dann genau das Riemann-Integral ist. Ungefähr richtig?
Vielen Dank schonmal im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Do 23.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweis:
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> http://www.math.tu-dresden.de/~timmerma/texte/lebesgue1.pdf
> Hallo,
> Ich versuche den Beweis des Lebesgue'schen
> Integrabilitätskriteriums, welcher unter dem obenstehenden
> Link zu finden ist (unten stehendes Theorem),
> nachzuvollziehen.
> Ich befinde mich noch im ersten Teil, also der
> Hin-Richtung.
> Ich habe mich schon bis zu der Bildung der Summen [mm]\sum _1[/mm]
> und [mm]\sum _2[/mm] vorgekämpft. Nun zu meinen Fragen:
> 1. In welchem Zusammenhang stehen Unter-/Obersumme zu den
> Intervallen an den Stellen, wo f stetig bzw. unstetig ist?
?? Da steht doch ein Theorem, was es zu beweisen gilt. Welche Definition
von Riemann-Integrierbarkeit habt ihr denn? ("Für jede Zerlegungsfolge...";
oder eine mit Ober-/Untersummen?" Bzw. kennt Ihr die Charakterisierungen?)
> 2. Wie kommen die Abschätzungen mit [mm]2C[/mm] bzw. [mm]|I|[/mm]
> zustande?
Auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] gilt $|f(x)| [mm] \le C\,.$ [/mm] Dann ist auch [mm] $M_k=\sup\{f(x):\;\;x \in I_k\} \le [/mm] C$ (beachte, dass [mm] $f\,$ [/mm] nur
auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] definiert ist; wenn Du in den Beweis schaust, sollte [mm] $I_k \subseteq [/mm] [a,b]$ klar
sein...), also folgt
[mm] $${\sum}_1=\sum_{k=1}^n M_k |I_k| \le \sum_{k=1}^n |I_k|*C=C*\sum_{k=1}^n |I_k|\,.$$
[/mm]
Such' jetzt mal nach 'ner Begründung, warum $ [mm] \sum_{k=1}^n |I_k| [/mm] < 2 [mm] \varepsilon$ [/mm] folgt.
Ich bin da - ehrlich gesagt - gerade ein wenig zu faul. Aber mit diesen
Zerlegungen und Aufteilen der Intervalle sollte das machbar sein. (Den
Beweis könnte man allerdings echt etwas besser strukturieren, damit
solche Fragen, wie Du sie hier gerade stellst, nicht erst auftauchen!)
> Der letzte Schritt ist mir dann, glaube ich, klar. Da
> [mm]\epsilon[/mm] beliebig klein ist, konvergieren Untersumme und
> Obersumme zu einem identischen Wert, welcher dann genau das
> Riemann-Integral ist. Ungefähr richtig?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:49 Mo 27.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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