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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:25 So 01.12.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Betrachte den Maßraum [mm] $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$. [/mm] Es sei [mm] $\left\{f_t\colon\Omega\to\overline{\mathbb{R}}\right\}_{t\in B}$ [/mm] eine durch die Teilmenge [mm] $B\subset [/mm] E$ des metrischen Raums $E$ indizierte Familie messbarer Funktionen, sodass für ein [mm] $g\in\mathfrak{L}_{\mu}^1$ [/mm] gilt [mm] $\sup_{t\in B}\lvert f_t\rvert\leq [/mm] g$ fast sicher. Ferner gelte für [mm] $\mu$-fast [/mm] alle [mm] $\omega\in\Omega$, [/mm] dass die Funktion [mm] $t\mapsto f_t(\omega)$ [/mm] stetig in [mm] $t_0\in [/mm] B$ sei.
Zeigen Sie, dass dann auch [mm] $t\mapsto\varphi(t):=\int_A f_t\, d\mu, B\to\mathbb{R}$, [/mm] für jedes [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] stetig in [mm] $t_0$. [/mm] |
Hallo!
Ich habe das so bewiesen:
[mm] \textbf{Beweis}
[/mm]
Sei [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] beliebig.
Sei [mm] $(t_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine Folge in $B$ mit [mm] $\lim_{n\to\infty}t_n=t_0$. [/mm]
Setze [mm] $f_n:=f_{t_{n}}, n\in\mathbb{N}$ [/mm] und sei [mm] $M_n:=\left\{f_{t_n}\mbox{ ist nicht stetig in }t_0\right\}, n\in\mathbb{N}$.
[/mm]
Außerdem sei [mm] $M:=\bigcup_{n=1}^{\infty}M_n$.
[/mm]
Es gilt [mm] $\mu(M_n)=\mu(M)=0$.
[/mm]
Mein Ziel ist es, den Satz von der majorisierten Konvergenz anzuwenden.
Es gilt [mm] $f_{t_n}\to f_{t_0}$ [/mm] fast sicher, das ist schonmal gut.
Allerdings benötige ich für die Anwendung des Satzes auch, dass [mm] $f_{t_0}$ [/mm] messbar ist, was genau dann der Fall ist, wenn der Grenzwert [mm] $\lim_{n\to\infty}f_{t_n}(\omega)$ [/mm] punktweise existiert. Das ist aber nur fast sicher der Fall!
Um das Problem zu lösen, habe ich mir gedacht, stattdessen die "Hilfsfolge"
[mm] $g_n:=1_{A\setminus M}f_{t_n}$
[/mm]
zu betrachten, denn die [mm] $g_n$ [/mm] sind messbar und diese Folge konvergiert punktweise gegen [mm] $1_{A\setminus M}f_{t_0}$ [/mm] (und hier existiert der Limes auch punktweise, sodass [mm] $1_{A\setminus M}f_{t_0}$ [/mm] messbar ist).
Wegen [mm] $\lvert g_n\rvert\leq\lvert f_n\rvert\leq\sup_{t\in B}\lvert f_t\rvert\leq [/mm] g$ fast sicher, kann ich nun den Satz von Lebesgue anwenden:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\int_A g_n\, d\mu=\int_A 1_{A\setminus M}f_{t_0}\, d\mu$
[/mm]
und da [mm] $g_n=f_n$ [/mm] fast sicher und [mm] $1_{A\setminus M}f_{t_0}=f_{t_0}$ [/mm] fast sicher, gilt
[mm] $\lim_{n\to\infty}\int_A f_{t_n}\, d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_A g_n\, d\, d\mu=\int_A 1_{A\setminus M}f_{t_0}\, d\mu=\int_A f_{t_0}\, d\mu$
[/mm]
und das war doch zu zeigen. [mm] $\Box$
[/mm]
Kann mir bitte jemand von Euch sagen, ob mein Beweis ok ist?
Ich hoffe, ich bekomme ein ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Viele Grüße und einen schönen Sonntag!
mikexx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 So 01.12.2013 | | Autor: | mikexx |
Hat niemand eine Meinung zu dem Beweis?
Ich wundere mich nur, weil ich dachte, das wäre eine Standardaussage, zu der ich schnell ein Feedback bekäme.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 03.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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