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| Aufgabe | Berechen sie mit einer Methode ihrer Wahl:
[mm] \lambda^3 [/mm] (S) für die Menge S := { [mm] x\in \IR^3: x_1^2 [/mm] + [mm] 4(x_2 -1)^2 [/mm] + [mm] 16(x_3 -3)^2 \le [/mm] 64} |
Huhu,
ich habe zuerst gehofft, dass mithilfe von einem Übergang zur Einheitskugel zu berechnen, aber das klappt nicht denke ich wegen den Vorkoeffizienten 4 und 16.
Also der Radius beträgt 8 , a =1 , b = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] , c [mm] =\bruch{1}{4}
[/mm]
man kann eine Transformation machen mit:
(x,y,z) [mm] \mapsto [/mm] ( ar sin(u) cos(v) , br sin(u) sin(v), cr cos(u)) mit 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 8, 0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le \pi [/mm] und 0 [mm] \le [/mm] v [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] mit Determinante abc [mm] r^2 [/mm] sin(u) die man durch Transformatin noch mitrein tun muss.
Mir fehlt jetzt eigentlich nur noch der Teil mit dem [mm] (x_2 -2)^2 [/mm] statt [mm] x_2^2 [/mm] und [mm] (x_3 -3)^3 [/mm] statt [mm] x_3^3 [/mm] wies in der normalen Ellipsoidformel ist. Wie muss man dies berücksichtigen?
Lg,
Evelyn
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Doch, das klappt mit der Einheitskugel. Denn
[mm]x^2 + 4(y-1)^2 + 16(z-3)^2 \leq 64[/mm]
geht mittels der linearen Substitution
[mm]\varphi: \ (u,v,w) \mapsto (x,y,z) \ \ \text{mit} \ \ x = 8u \, , \ y = 4v+1 \, , \ z = 2w+3[/mm]
in die Einheitskugel
[mm]u^2 + v^2 + w^2 \leq 1[/mm]
über.
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> Doch, das klappt mit der Einheitskugel. Denn
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> [mm]x^2 + 4(y-1)^2 + 16(z-3)^2 \leq 64[/mm]
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> geht mittels der linearen Substitution
>
> [mm]\varphi: \ (u,v,w) \mapsto (x,y,z) \ \ \text{mit} \ \ x = 8u \, , \ y = 4v+1 \, , \ z = 2w+3[/mm]
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> in die Einheitskugel
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> [mm]u^2 + v^2 + w^2 \leq 1[/mm]
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> über.
hey!
omg das ist genial! Das hätte ich niemals gesehen!
Wäre das neue Integral, was ich dann berechnen würde
[mm] \integral_{B^3}{64 d(u,v,w)} [/mm] ?
Die 64 habe ich aus der Jacobimatrixdeterminante
[mm] \pmat{ 8 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 } [/mm] berechnet, falls ich die richtig gebildet haben sollte!
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Stimmt alles.
Genial ist das übrigens nicht. Wenn man die gegebene Ungleichung durch [mm]64[/mm] dividiert erhält man:
[mm]{\underbrace{\left( \frac{x}{8} \right)}_u}^2 + {\underbrace{\left( \frac{y-1}{4} \right)}_v}^2 + {\underbrace{\left( \frac{z-3}{2} \right)}_w}^2 \leq 1[/mm]
Die Substitution liegt also nahe.
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> Stimmt alles.
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> Genial ist das übrigens nicht. Wenn man die gegebene
> Ungleichung durch [mm]64[/mm] dividiert erhält man:
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> [mm]{\underbrace{\left( \frac{x}{8} \right)}_u}^2 + {\underbrace{\left( \frac{y-1}{4} \right)}_v}^2 + {\underbrace{\left( \frac{z-3}{4} \right)}_w}^2 \leq 1[/mm]
>
> Die Substitution liegt also nahe.
Nagut, aber darauf muss man auch erstmal kommen wenn man so ein Aufgabentyp zum ersten Mal hat ^^
Vielen lieben Dank! :)
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