Lebesgue-integrierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mi 29.10.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ [/mm] Lebesgue-integrierbare Funktion.
Zeigen Sie:
Dann ist auch
[mm] $f^{\sim}:\mathbb{R}^n\times (a,b)\to \mathbb{C}$
[/mm]
[mm] $(x,y)\to [/mm] f(x)$
Lebesgue-integrierbar und es gilt:
[mm] $\int_{\mathbb{R}^n\times (a,b)} f^{\sim}(x,y)\, d(x,y)=(b-a)\int_{\mathbb{R}^n} [/mm] f(x)$ |
Hi,
ich bräuchte mal wieder etwas hilfe bei dieser Aufgabe, da ich nicht so recht weiß wie ich die Lebesgue-integrierbarkeit von [mm] $f^{\sim}$ [/mm] zeigen kann, bzw. eine geeignete Treppenfunktion wähle.
Da $f$ Lebesgue-integrierbar ist gibt es eine Treppenfunktion [mm] $\phi_k$ [/mm] so, dass
[mm] $\lim_{k\to\infty} ||f-\phi_k||_1=0$
[/mm]
Nun ist die Abbildungsvorschrfit von [mm] $f^{\sim}$ [/mm] ja so, dass [mm] $(x,y)\mapsto [/mm] f(x)$ werden.
Dann kann ich doch einfach die selbe Treppenfunktion wie für f nehmen, oder nicht?
Für den zweiten Teil hatte ich mir folgendes überlegt. Und zwar hatten wir den Satz von Fubini für Treppenfunktionen bewiesen.
Wenn ich also [mm] $f^{\sim}$ [/mm] mittels Treppenfunktion darstelle, so kann ich die Integration nacheinander ausführen.
Es gilt:
[mm] $\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx=\lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}\phi_k(x)\, [/mm] dx$
Also könnte ich, wenn ich die Treppenfunktion zu [mm] $f^{\sim}$ [/mm] kenne dies so umformen und dann den entsprechenden Satz anwenden.
Über Hilfestellung würde ich mich sehr freuen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Mi 29.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
> Hi,
>
> ich bräuchte mal wieder etwas hilfe bei dieser Aufgabe, da
> ich nicht so recht weiß wie ich die
> Lebesgue-integrierbarkeit von [mm]f^{\sim}[/mm] zeigen kann, bzw.
> eine geeignete Treppenfunktion wähle.
>
> Da [mm]f[/mm] Lebesgue-integrierbar ist gibt es eine Treppenfunktion
> [mm]\phi_k[/mm] so, dass
>
> [mm]\lim_{k\to\infty} ||f-\phi_k||_1=0[/mm]
>
> Nun ist die Abbildungsvorschrfit von [mm]f^{\sim}[/mm] ja so, dass
> [mm](x,y)\mapsto f(x)[/mm] werden.
> Dann kann ich doch einfach die selbe Treppenfunktion wie
> für f nehmen, oder nicht?
Nein, [mm] $\phi_k$ [/mm] sind nur auf [mm] $\IR^n$ [/mm] definiert.
> Für den zweiten Teil hatte ich mir folgendes überlegt.
> Und zwar hatten wir den Satz von Fubini für
> Treppenfunktionen bewiesen.
> Wenn ich also [mm]f^{\sim}[/mm] mittels Treppenfunktion darstelle,
> so kann ich die Integration nacheinander ausführen.
>
> Es gilt:
>
> [mm]\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx=\lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}\phi_k(x)\, dx[/mm]
>
> Also könnte ich, wenn ich die Treppenfunktion zu [mm]f^{\sim}[/mm]
> kenne dies so umformen und dann den entsprechenden Satz
> anwenden.
Genau, das folgt aus der Definition [mm] $\int [/mm] f$, [mm] $\int f^{\sim}$, [/mm] sowie dem Satz von Fubini für Treppenfunktionen.
>
> Über Hilfestellung würde ich mich sehr freuen.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mi 29.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich hatte mir überlegt, dass ich die Treppenfunktion [mm] $\phi_k$ [/mm] auch einfach mit
[mm] $\phi_k\times(a,b)$ [/mm] erweitern könnte.
Ich weiß leider nicht wie ich mir eine geeignete Treppenfunktion konstruieren könnte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mi 29.10.2014 | | Autor: | andyv |
Definiere Treppenfunktionen [mm] $\phi_k^{\sim}$ [/mm] analog zu [mm] $f^{\sim}$.
[/mm]
Gilt [mm] $\|f^{\sim}-\phi_k^{\sim}\|_1 \to [/mm] 0$?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mi 29.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Wenn ich
[mm] $\phi_k^{\sim}$ [/mm] auch so definiere wie [mm] $f^{\sim}$, [/mm] dann ist
[mm] $\phi_k^{\sim}:\mathbb{R}^n\times (a,b)\to \mathbb{C}$
[/mm]
[mm] $(x,y)\mapsto \phi_k$
[/mm]
bezüglich der [mm] $L_1$-Halbnorm [/mm] mit
[mm] $\lim_{k\to\infty} ||f^{\sim}-\phi_k^{\sim}||_1=0$
[/mm]
Weil im Grunde nichts anderes passiert als bei
[mm] $\lim_{k\to\infty} ||f-\phi_k||_1=0$
[/mm]
und das das gilt weiß ich ja.
Die Funktionsabbildungen für [mm] $f^{\sim}$ [/mm] und [mm] $\phi_{k}^{\sim}$ [/mm] sind ja gerade so definiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:11 Do 30.10.2014 | | Autor: | andyv |
Du solltest schon zeigen, dass $ [mm] \lim_{k\to\infty} ||f^{\sim}-\phi_k^{\sim}||_1=0 [/mm] $ gilt, auch wenn das nicht besonders schwer ist.
Schau dir dazu die Def. der [mm] $\|* \|_1$-Halbnorm [/mm] an.
Es gilt nicht [mm] $||f^{\sim}-\phi_k^{\sim}||_1= ||f-\phi_k||_1 [/mm] $ !
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:13 Do 30.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Hi, ich hätte nochmal eine Frage zu dieser Aufgabe allgemein. Ich betrachte ja
[mm] $\mathbb{R}^n\times [/mm] (a,b)$ im Beispiel des zweidimensionalen Raumes würde dies doch letztendlich einen Quader mit Kantenlänge $b-a$ bedeuten, also den [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] um eine weitere Dimension erweitern.
Wenn ich vorher nur eine Fläche hatte, bekomme ich durch das (a,b) nun einen Quader.
Nun zur [mm] $L_1$-Halbnorm $||f||_1=inf\{I(\phi)|\phi\text{ist Hüllreihe zu} f\}\in[0,\infty]$ [/mm]
definiert.
Wie ich dies anhand der Definition nun aber zeige, da steige ich nicht hinter.
Die Definition wirkt so "wild". Ich wüsste gar nicht wie ich entsprechende Quader konstruieren könnte. Aber ich denke auch, dass das gar nicht notwendig ist...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Do 30.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Hat hier noch jemand einen Tipp wie ich zeigen kann, dass
[mm] $\lim_{k\to\infty} ||f^{\sim}-\phi_k^{\sim}||_1=0$
[/mm]
Ich weiß nicht wie ich dies mit der Definition, der Halbnorm zeigen kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 01.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
