Lebesgue- und regelintbar < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Sei f : ]a, b[ → [mm] \IR, [/mm] a, b ∈ [mm] \IR [/mm] -Abschluss = [−∞, ∞], auf jedem kompakten Intervall [α, β] ⊂ ]a, b[ regelintegrierbar. Dann ist f ∈ [mm] L_{1}(\lambda) [/mm] genau dann, wenn |f| auf ]a,b[ uneigentlich regelintegrierbar ist.
b) Zeigen Sie, dass die Funktion f : [mm] \IR [/mm] → [mm] \IR, [/mm] f(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] , Lebesgue-integrierbar ist und berechnen Sie [mm] \integral{f d \lambda}. [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich habe gerade ganz gewaltige Probleme mit dem Lebesgue-Integral.
Ich weiß, eine Funktion f ist Lebesgue-Intbar, wenn das Integral von f+ und f- < ∞ ist.
zu a): Was genau ist jetzt aber regelintegrierbar? Ich glaube noch zu wissen, dass für eine Regelintegrierbare Funktion f eine Folge von Treppenfunktionen existieren muss, die gleichmäßig gegen f konvergiert. Stimmt das so weit?
Aber was ist dann uneigentlich regelintegrierbar? Wie wäre dann der Ansatz für a?
Ich weiß also, dass für jedes f:[ [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] ] [mm] \to \IR [/mm] eine Folge von Treppenfunktionen existiert, die gleichmäßig gegen f konvergiert.
zu b) Wir haben leider noch nie ein Lebesgue-Integral explizit berechnet, von daher absolut keine Idee. :(
Also intbar ist es wie oben geschrieben, wenn das Integral von f+ und f- < ∞ ist.
f ist positiv und ich glaube, dass das Riemann-Integral von f auf [mm] \IR [/mm] konvergiert. Kann ich damit schon schließen, dass [mm] \integral{f^+} [/mm] Lebesgue-Intbar ist?
Und kann ich dann das Lebesgue-Integral genau wie das Riemann-Integral berechnen?
So viele Fragen... :(
Ich hoffe jemand kann etwas Licht ins Dunkel bringen!
Liebe Grüße und vielen vielen Dank schonmal!
Dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 08.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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