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| Aufgabe | Konstruieren Sie eine Folge stetiger Funktionen [mm] f_n:[0,1]->[0,1], [/mm] s.d.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}=0 [/mm] aber die Funktionenfolge nirgends punktweise konvergiert. |
Hallo,
ich soll obige Aufgabe lösen, habe aber keine Idee, wie diese Funktionenfolge aussehen könnte.
Dazu habe ich mehrere Funktionen ausprobiert, welche aber alle gescheitert sind.
Kann mir jemand vielleicht helfen?
Vielen Dank
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hat denn wirklich keiner eine Idee??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 So 30.05.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> hat denn wirklich keiner eine Idee??
Immer zunächst mindestens ein Standardbeispiel aus einem Standardbuch raussuchen. In diesem Fall:
Elstrodt's Maß- und Integrationstheorie, Abs. VI. Konvergenzbegriffe... Beispiel 2.8.
Grüße,
dormant
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Hallo,
vielen Dank für deine Antwort!
Ich habe mir das Beispiel angesehen aus dem Buch, die Folge die dort angegeben ist, (mit den ch. Funktionen ) ist jedoch nicht stetig auf [0,1]. diese Folgenglieder sind doch alle (bis auf [mm] f_1) [/mm] unstetig, wenn ich mich nicht irre.
Ich hoffe du meinst dieses Beispiel.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 So 30.05.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Hallo,
>
> vielen Dank für deine Antwort!
> Ich habe mir das Beispiel angesehen aus dem Buch, die
> Folge die dort angegeben ist, (mit den ch. Funktionen ) ist
> jedoch nicht stetig auf [0,1]. diese Folgenglieder sind
> doch alle (bis auf [mm]f_1)[/mm] unstetig, wenn ich mich nicht
> irre.
Die sind sprungstetig und da die Sprungstellen abzählbar sind ist das gut genug. Das kann man nämlich heilen, in dem man z.B. die char. Funktion, die auf dem Intervall [mm] [a_n, b_n] [/mm] 1 wird, mit einer so multipliziert, dass sie stetig auf dem Intervall steigt und absteigt, s.d. sie bei [mm] a_n [/mm] null ist, dann wächst und fällt sie, und bei [mm] b_n [/mm] ist sie wieder null.
> Ich hoffe du meinst dieses Beispiel.
Ja, dieses Beispiel. Ich hatte nicht gesehen, dass deine Folge steitig sein muss.
Gruß,
dormant
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Super!
Vielen Dank. So klappt es tatsächlich.
Grüße
raubkätzchen
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:21 So 30.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Konstruieren Sie eine Folge stetiger Funktionen
> [mm]f_n:[0,1]->[0,1],[/mm] s.d.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}=0[/mm]
> aber die Funktionenfolge nirgends punktweise konvergiert.
> Hallo,
>
> ich soll obige Aufgabe lösen, habe aber keine Idee, wie
> diese Funktionenfolge aussehen könnte.
> Dazu habe ich mehrere Funktionen ausprobiert, welche aber
> alle gescheitert sind.
>
> Kann mir jemand vielleicht helfen?
Du brauchst zunächst mal eine Folge, die nirgends punktweise konvergiert. Das kannst du z.B. dadurch erreichen, dass jedes der [mm] $f_n$ [/mm] in einem anderen Intervall von 0 verschieden ist. Ein Beispiel einer Funktionenfolge auf den nichtnegativen reellen Zahlen wäre
[mm] f_n := \begin{cases} 1, & n-1 \le x < n \\ 0 ,& \text{sonst} \end{cases} [/mm] .
Jedes der [mm] $f_n$ [/mm] ist auf einem Intervall der Länge 1 von 0 verschieden, und alle anderen sind dort 0; und für jede nichtnegative reelle Zahl x gibt es genau ein [mm] $f_n$, [/mm] sodass [mm] $f_n(x)=1$.
[/mm]
Nun konstruiere so eine Folge auf dem Intervall $[0,1]$. Damit die Integrale konvergieren, müssen die Teilintervalle für die einzelnen [mm] $f_n$ [/mm] nicht gleich groß sein, sondern immer kleiner werden.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 14:30 So 30.05.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
also die Funktionenfolge konvergiert punktweise gegen $f(x) = 0$
Punktweise heisst ja gerade:
[mm] $\forall x_0\in D(f)\text{ } \forall\varepsilon>0\text{ }\exists n_0\text{ }\forall n\ge n_0: |f_n(x_0) [/mm] - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Insbesondere gilt nun für [mm] n\ge x_0
[/mm]
[mm] $|f_n(x_0) [/mm] - [mm] f(x_0| [/mm] = 0 - 0 = 0 < [mm] \varepsilon$ [/mm]
d.h. punktweise Konvergenz.
MFG,
Gono.
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Hallo,
ja, ich habe versucht solche Folgen zu konstruieren. Aber entweder waren sie punktweise konvergent in mind. einem Punkt oder wenn dies nicht zutraf, so konvergierte das Integral nicht gegen Null.
Kurz: ich habe es nicht geschafft eine Folge zu finden die beides erfüllt.
Grüße
raubkätzchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 So 30.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
zur Aufgabe:
Vorüberlegungen (die wohl leider größtenteils gescheitert sind, wie ich während der Überlegungen feststellen musste):
Naheliegend wäre es, mal so zu starten (es führt noch nicht direkt zum Ziel):
Nimm mal "Zackenfunktionen", und zwar soll deren Graph so verlaufen:
[mm] $f_1$: [/mm] startet bei $(0|0)$, läuft geradlinig zum Punkt $(0,5|1),$ dann wieder geradlinig zum Punkt [mm] $(1|0)\,.$ [/mm]
Hier:
[mm] $$\int_0^1 f_1=1*1/2=0,5\,.$$
[/mm]
[mm] $f_2$: [/mm] startet bei $(0|0)$, geradliniger Verlauf zu $(1/4|1)$, von da aus geradliniger Verlauf zu $(1/2|0)$, von da aus geradliniger Verlauf zu $(3/4|1)$, von da aus geradliniger Verlauf zu [mm] $(1|0)\,.$
[/mm]
Hier:
[mm] $$\int f_2=2*(0,5*1/2)=0,5\,.$$
[/mm]
Was wir "sehen": Die nicht punktweise Kovergenz sollte so funktionieren, aber das "Integralproblem" scheint noch nicht gelöst.
Was kann man da machen? Naja, vielleicht kann man anstatt dieser "Geradenstücke" gewisse Parabelstücke benutzen (vom Scheitelpunkt einer entsprechenden - in Abhängigkeit von [mm] $n\,$ [/mm] mithilfe eines Faktors $> [mm] 1\,$ [/mm] entlang der [mm] $y\,$-Achse [/mm] gestreckten - Parabel ausgehend). Weil diese ja "sehr steil" werden, werden die "sich wiederholenden Integralstücke" dann hoffentlich sehr klein (mit wachsendem [mm] $n\,$), [/mm] und zwar hoffentlich auch dann, wenn man sie über dem Intervall [mm] $[0,1]\,$ [/mm] aufsummiert (ich habe es noch nicht gerechnet, weil es mir eigentlich zu aufwendig erscheint).
Oder was auch (sehr) naheliegend scheint:
[mm] $$f_n(x)=|\sin(n*(\pi*x))|$$
[/mm]
(Anstatt [mm] $f_n(x)=|\sin(n*(\pi*x))|$ [/mm] könnte man auch [mm] $f_n(x)=|\sin(2^n*(\pi*x))|$ [/mm] betrachten. Es hat den Vorteil, dass, wenn man sich die Graphen zeichnet, sieht, dass bei [mm] $f_{n+1}$ [/mm] "die Intervallstücke von [mm] $f_n$ [/mm] halbiert sind".)
Hier kannst Du leider mit dem HDI nachrechnen, dass [mm] $\int_0^1 f_n \not\to 0\,,$ [/mm] aber die Stetigkeit der [mm] $f_n$ [/mm] ist klar. Ein verbleibendes Problem wäre auch noch, dass diese [mm] $f_n$ [/mm] an den Nullstellen konvergieren. Naja, aber das wäre leicht zu lösen:
[mm] $$f_n(x)=|\sin(2^n*(\pi*x))| \text{ für gerades }n,$$
[/mm]
[mm] $$f_n(x)=|\cos(2^n*(\pi*x))| \text{ für ungerades }n\,.$$
[/mm]
Noch zu prüfende Idee:
Da diese Ideen (bis evtl. die mit den Parabelstücken) wohl bisher alle zu scheitern scheinen (es sei denn, ich habe mich irgendwo verrechnet), versuche nun vielleicht mal folgendes:
[mm] $$f_n(x)=|\sin^p(2^n*(\pi*x))| \text{ für gerades }n,$$
[/mm]
[mm] $$f_n(x)=|\cos^p(2^n*(\pi*x))| \text{ für ungerades }n\,.$$
[/mm]
Nun ist es an Dir:
Vielleicht findest Du hier ja ein geeignetes $p [mm] \in \IN$? [/mm] (Sollte es schon für $p=2$ klappen, ist es der Idee mit den Parabelnstücken wenigstens ein wenig ähnlich.)
P.S.:
Beachte, dass $x [mm] \mapsto |\sin(x)|$ [/mm] die Periode [mm] $\pi$ [/mm] hat, so dass $x [mm] \mapsto g_m(x):=|\sin(m*(\pi*x))|$ [/mm] die Periode [mm] $\frac{\pi}{\pi*m}=1/m$ [/mm] hat. Es hilft Dir, wenn Du Dir mal die Graphen der [mm] $g_m$, [/mm] insbesondere für [mm] $m=m_n=2^n$ [/mm] auf $[0,1]$ visualisieren willst (Extremstellen!).
Edit:
Ich habe übrigens gerade ein wenig auf ![[]](/images/popup.gif) dieser Webseite für Integralrechnungen rumgespielt, und festgestellt:
Für festes $p [mm] \in \IN$ [/mm] scheint das Problem mit der Integralfolge noch nicht gelöst.
Aber:
[mm] $$f_n(x)=|\sin^p(2^n*(\pi*x))| \text{ für gerades }n,$$
[/mm]
[mm] $$f_n(x)=|\cos^p(2^n*(\pi*x))| \text{ für ungerades }n\,.$$
[/mm]
mit [mm] $p=p_n$ [/mm] (z.B. [mm] $p=2^n$) [/mm] sieht es schon ganz gut aus.
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Hilfe, einige deiner Ideen habe ich auch versucht und musste wie du auch feststellen dass diese nicht funktionieren.
Mittlerweile habe ich eine Lösung gefunden, worauf ich wohl niemals selbst gekommen wäre. Falls es dich interessiert, schau mal weiter oben (die 1. Verzweigung in der Diskussion) dieser Ansatz klappt in der Tat hervorragend!
Liebe Grüße
raubkätzchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 So 30.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Raubkätzchen,
> vielen Dank für deine Hilfe, einige deiner Ideen habe ich
> auch versucht und musste wie du auch feststellen dass diese
> nicht funktionieren.
> Mittlerweile habe ich eine Lösung gefunden, worauf ich
> wohl niemals selbst gekommen wäre. Falls es dich
> interessiert, schau mal weiter oben (die 1. Verzweigung in
> der Diskussion) dieser Ansatz klappt in der Tat
> hervorragend!
okay, ich schau' es mir später mal an und denke da drüber nach. Ich habe allerdings noch einen Vorschlag, den ich selber noch nicht nachgerechnet habe.
$$ [mm] f_n(x)=|\sin^{2^n}(2^n\cdot{}(\pi\cdot{}x))| \text{ für gerades }n,$$ [/mm]
$$ [mm] f_n(x)=|\cos^{2^n}(2^n\cdot{}(\pi\cdot{}x))| \text{ für ungerades }n\,.$$
[/mm]
Die Stetigkeit der [mm] $f_n: [/mm] [0,1] [mm] \to [/mm] [0,1]$ ist klar, und die punktweise Nichtkonvergenz scheint mir auch gegeben zu sein. Dass [mm] $\int_0^1 f_n \to [/mm] 0$ habe ich mit einem "Rechenprogramm" mal geprüft. Zum Nachrechnen hatte ich selbst noch keine Lust, es sollte aber wohl auch mit dem HDI einzusehen sein.
(Evtl. braucht man dabei noch Abschätzungen, oder aber man muss sich überlegen oder nachgucken, ob man etwas bzgl. [mm] $\int \sin^m(x)dx$ [/mm] herausfindet.)
Beste Grüße,
Marcel
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