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| Aufgabe | Eine bestimmte Sicherungsanlage besteht aus zwei unabhaengig voneinander arbeitenden parallel geschalteten Bauelemente (BE). Die Anlage ist voll wirksam, sonlange min. ein BE funktioniert. Das zweite BE stellt sogenannte heisse Reserve dar. d.h. es ist staendig in Betrieb und wird nicht erst dann zugeschaltet, wenn das andere BE ausfaellt. Eine Ueberpruefung der BE ergab, dass die Lebensdauer (in Monaten) eine Rayleigh-Verteilung besitzt, deren Dichtefunktion wie folgt lautet: f(x) = 2x exp(-x²)
a) Mit welcher WK funktioniert die Anlage mehr als zwei Monate
b) Welche Lebensdauer der Sicherungsanlage kann mit min. 95% Sicherheit garantiert werden?
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Teilaufgabe a.) hab ich problemfrei geloest [mm] F(X)=\int_{-\infty}^{x} f(x)\, dx = 0,0183 [/mm] , da halt von null bis 2 Monate betrachtet werden muss.
[mm] P(syst)=1-(1-0,0183)^2 [/mm] = 0,036.
bei Aufgabe b.) hab ich allerdings ein Verstaendnisproblem.
Meine Loesung:
0.95= 1-(1-x)² x=0,776 ( die 2.Loesung kann ja vernachlaessigt werden da sie ueber 1 ist)
[mm]
0.776 = \integral_{0}^{b} {f(x) dx}...
[/mm]
richtig ist aber
[mm]
0.776 = \integral_{0}^{b} {f(x) dx}...[/mm]
Ich stell mir eine Funktion in mit einem Punkt b links davon liegen die 95% rechts davon die restlichen 5%. Da mich die 95% interessieren integriere ich von 0 bis b.
Warum muss ich aber von b bis unendlich integrieren ?
/Vladimir
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Vladimir,
erst einmal willkommen im MatheRaum.
für die Dichtefunktion $F(x)$ der Lebenserwartung und gilt doch:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anlage mindestens $a$ und höchstens $b$ Monate fuktioniert, berechnet sich aus dem Integral
[mm] $\int_{a}^{b}F(x)dx$.
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer eine bestimmte Untergrenze überschreitet, soll nun größer sein als 95%, also:
Bestimme $a$ so, dass [mm] $\int_{a}^{\infty}F(x)dx$ [/mm] > $0.95$.
Du hast mit deiner Lösung berechnet, nach welcher Zeit die Anlage mit 95%iger Wahrscheinlichkeit ausfällt. (Das Integral von 0 bis $b$ fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass die Anlage nach höchstens $b$ Monaten ausfällt.)
Ich hoffe, meine Antwort hilft dir weiter.
Hugo
PS: Wenn du möchtest, darfst du auch gerne selbst Fragen von anderen beantworten.
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