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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Oesi |
| Aufgabe | Ein BMW hat einen Neuwert von 42900 Euro. Ein Leasingvertrag für dieses Fahrzeug schlägt eine Anzahlung von 8580 Euro, eine vorschüssige monatliche Rate von 570 Euro und einen Restwert von 17680 Euro bei einer Laufezeit von 3 Jahren vor.
a) Wie gross wäre der Barwert dieses Leasingsvertrags, wenn Sie ihr Geld auch auf eine Sparbuch mit einem Zinssatz von 3% p.a. legen könnten?
b) Sie wollen sich die 17680 Euro Restbetrag während der drei Jahre zusammensparen. Welchen Betrag müssten Sie monatlich nachschüssig auf ein Sparbuch mit 3% p.a. einzahlen, um dies zu bewerkstelligen?
c) Oft wird nicht berücksichtigt, dass es in der Regel bei einem Leasingvertrag für den Käufer verpflichtend ist, den Wagen für die Dauer des Vetrages mit einer Vollkaskoversicherung auszustatten. Der Anteil der Vollkasko an der gesamten Versicherungsprämie beträgt 80 Euro pro Monat. Zeigen Sie, dass die Gesamtebelastung des Käufers somit 1120 Euro entspricht.
d) Angenommen, Sie nehmen 8580 Euro Anzahlung, die Sie soundso bar besitzen müssen und kaufen sich dafür einen nur grundversicherten Gebrauchswagen, den Sie sanieren, damit er 3 Jahre lang problemlos fährt. Danach nehmen Sie monatlich den Betrag aus c) und legen diesen nachschüssig auf ein Sparbuch mit 3,5%p.a.. Wie viel hätten Sie sich binnen 3 Jahren zusammengespart? |
Ich kenne mich mit Finanzmathematik gar nicht aus.
Für a) und b) habe ich Lösungen, die ich nach ähnlichen Aufgaben aus dem Internet berechnet habe.
a) Barwert: 44406 Euro (Barwert vorschüssig + abgezinster Restwert + Anzahlung)
Formel für Barwert vorschüssig: [mm] $B_v=R \bruch{1-v^n}{1-v}$ [/mm] Dabei ist R die monatliche Rate und n die Zahl der Monate. [mm] $v=\bruch{1}{\wurzel[12]{1,03}}$ [/mm]
b) 470 Euor monatlich (Rate mit Formel für Endwert nachschüssig berechnet)
Formel für Endwert nachschüssig: [mm] $E_n=R\bruch{1-r^n}{1-r}$, [/mm] mit [mm] $r=\wurzel[12]{1,03}$
[/mm]
Zu a) und b) (sofern sie überhaupt richtig sind), bräuchte ich bitte auch Erklärungen, warum und wieso das so berechnet wird.
Zu c) Es ist klar, das 80+570 die monatliche Rate ist, aber wie komme ich auf 1120?
Zu d) Kann ich einfach die 1120 als monatliche Rate nehmen und den Endwert nachschüssig berechnen? Oder muss man den Gebrauchtwagen berücksichtigten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Do 26.01.2012 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
die Berechnungsschritte zu a) und b) sind richtig.
Zum "warum und wieso" nur kurz:
Der Weg der Berechnung ergibt sich aus der Art der Verzinsung des Sparbuchs oder auch der Leasingeinnahmen, dabei unterscheiden sich die einzelnen Zahlungen inclusive Zinsen der Höhe nach von einander wie folgt:
$ R [mm] \cdot \left(1+i\right) [/mm] + R [mm] \cdot \left(1+i\right)^2 [/mm] + R [mm] \cdot \left(1+i\right)^3 [/mm] +..+ R [mm] \cdot \left(1+i\right)^n [/mm] $
D.h. der Quotient zwischen zwei Zahlungen ist gleich. Die Summe dieser Zahlungen incl. der Zinsen bildet nach Ausklammerung von R damit eine geometrische Reihe und kann mit der dafür entwickelten Summenformel, in der Finanzmathematik als Rentenformel bezeichnet, berechnet werden. Für den Endwert ist das mit
q=1+i (i=Zinssatz dezimal)
$ EW = R [mm] \cdot \bruch{q^n-1}{q-1} [/mm] $ für nachschüssige Renten
und für den Barwert bei vorschüssigen Renten abgezinst
$ BW = R [mm] \cdot \bruch{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^{n-1}} [/mm] $.
Das ist die Schreibweise, wie ich sie verwende.
Da bei Sparbüchern während eines Jahres noch kein Zinseszinseffekt berücksichtigt wird, muß man entweder eine Ersatzjahreszahlung bilden oder - wie hier - den sog. konformen Zins, der bezogen auf jeden Monat für das gesamte Jahr eine gleich hohe Verzinsung ergibt wie ansonsten eine einmalige zum Jahresende, deshalb gilt:
$ [mm] \left(1+ i\right)=\left(1+i_p\right)^{12} [/mm] $.
Radiziert man auf beiden Seiten mit 12, ergibt sich von die Dir benannte Größe r. Und für die Abzinsung wird durch r dividiert oder mit dem Kehrwert multipliziert.
Die von Dir genannten Formeln kann man durch Umformungen auf die oben angeführten zurückführen.
zu c) Der Betrag beinhaltet nicht nur die monatliche Rate und die Versicherung, sondern auch die monatliche Anlage gemäß Aufgabe b)
zu d) Die Fragestellung in der Aufgabe verlangt die Berechnung des Endwerts der monatlichen Zahlungen. Dabei spielt der PKW keine Rolle. Dein Berechnungsvorschlag stimmt also.
Gruß
Staffan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Do 26.01.2012 | | Autor: | Oesi |
Danke! Das hat mir geholfen!
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