Lavaldüse Gleichung umstellen < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Sa 26.09.2009 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | In einem mit Luft gefüllten Druckkessel beträgt der Ruhedruck [mm] $p_0 [/mm] = 10 bar$ und die Ruhetemperatur$ [mm] t_0=25°C$.
[/mm]
Es soll ein Massenstrom von $ 1 kg/s$ bei einer Austrittsmachzahl von $1,5$ am Ende der Lavaldüse erreicht werden.
a) Wie groß muss der engste Querschnitt sein?
b) Wie groß ist der notwendige Außendruck? |
Teil a) habe ich lösen können. (Es kommt 427,2 mm² raus)
Aber bei b) kann ich die Gleichung nicht nach [mm] [green]$p_1$[/green] [/mm] umstellen.
[mm] Ma_{1 }= \wurzel{\bruch{2}{{\kappa}-1}*((\bruch{p_1}{p_0})^{-\bruch{\kappa-1}{\kappa}}-1}
[/mm]
Wenn ich die Gleichung so direkt in den Taschenrechner eingebe und den das lösen lasse, kommt exakt das Ergebnis raus was in der Lösung steht ($2,72 bar$).
Ich würde aber gerne wissen man das "zu Fuß" erreicht ;)
Wer weiß wie das geht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Sa 26.09.2009 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
1. Schritt: Gleichung auf beiden Seiten quadrieren
2. Schritt umformen so dass ((\bruch{p_1}{p_0})^{-\bruch{\kappa-1}{\kappa} auf einer Seite steht.
3. Schritt Logarithmus auf beiden Seiten.
4. Schritt Log Gesetze anwenden.
5. Schritt nach logp aufloesen
6. Schritt exponent bilden
alternativ 3. Schritt beide Seiten \bruch{\kappa-1}{\kappa} te Wurzel ziehen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 So 27.09.2009 | | Autor: | steem |
So ähnlich habe ich das schon gemacht.
Ich habe die Version mit der Wurzel gewählt, aber irgendwie klappte das nicht.
Ich habe 2 Versionen wie die umgestellte Formel dann aussieht.
[mm] p_{1}=p_{0}*\wurzel[\bruch{-\kappa-1}{\kappa}]{\bruch{Ma_{1}^{2}*(\kappa-1)}{2}+1}
[/mm]
und
[mm] p_{1}=p_{0}*\wurzel[\bruch{\kappa-1}{\kappa}]{\bruch{1}{(1+Ma_{1}^{2})*(\kappa-1)}}
[/mm]
mit beiden Versionen kommt nicht das richtige Ergebnis raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:32 So 27.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nicht sorgfaeltig genug umgeformt. schreib deine Zwischenschritte auf, dann korrigier ich.
ist [mm] Ma_1 [/mm] eine Zahl oder ist das [mm] M*a_1?
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:47 So 27.09.2009 | | Autor: | steem |
Danke für deine Hilfe!
[mm] $M_{a1}$ [/mm] ist eine Zahl, ich hatte das etwas unglücklich aufgeschrieben.
In der Aufgabe ist [mm] $M_{a1}$ [/mm] mit 1,5 gegeben.
Also hier meine Schritte.
$ [mm] M_{a1 }= \wurzel{\bruch{2}{{\kappa}-1}\cdot{}((\bruch{p_1}{p_0})^{-\bruch{\kappa-1}{\kappa}}-1)} [/mm] $
1. Quadrieren
$ [mm] M_{a1 }^2= {\bruch{2}{{\kappa}-1}\cdot{}((\bruch{p_1}{p_0})^{-\bruch{\kappa-1}{\kappa}}-1)} [/mm] $
2. Mal [mm] (\kappa-1) [/mm] und geteilt durch 2
$ [mm] \bruch{{(\kappa-1)}*M_{a1 }^{2}}{2}= {((\bruch{p_1}{p_0})^{-\bruch{\kappa-1}{\kappa}}-1)} [/mm] $
3. +1
$ [mm] \bruch{{(\kappa-1)}*M_{a1 }^{2}}{2}+1= {(\bruch{p_1}{p_0})^{-\bruch{\kappa-1}{\kappa}}} [/mm] $
4. [mm] -\bruch{\kappa-1}{\kappa} [/mm] Wurzel ziehen
[mm] \wurzel[-\bruch{\kappa-1}{\kappa}]{\bruch{{(\kappa-1)}*M_{a1 }^{2}}{2}+1} [/mm] = [mm] {(\bruch{p_1}{p_0})} [/mm]
5. Mal [mm] p_0 [/mm]
[mm] {p_0}*{\wurzel[-\bruch{\kappa-1}{\kappa}]{\bruch{{(\kappa-1)}*M_{a1 }^{2}}{2}+1}} [/mm] = [mm] {p_1} [/mm]
Irgendwie finde ich das alles so ganz logisch, aber es muss irgendwo ein Fehler drin sein, weil damit ein anderes Ergebnis rauskommt als direkt in den Taschenrechner eingetippt und mit Solve gelöst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 So 27.09.2009 | | Autor: | chrisno |
nun steht das Minuszeichen vor dem Bruch des Wurzelexponenten, das ist ein Unterschied zu den ersten Version.
Bei Deiner unsprüngliche zweiten Version hast Du nicht auf das gleichnamig machen der Brüche geachtet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 So 27.09.2009 | | Autor: | steem |
Ja irgendwie habe ich mir meine Frage gerade ausversehen selbst beantwortet :) Beim kleinschrittigen eingeben mit dem Formeleditor hab ich wohl keine Umstellungsfehler mehr gemacht.
Diese Umstellung ist richtig:
$ [mm] p_{1}={p_0}\cdot{}{\wurzel[-\bruch{\kappa-1}{\kappa}]{\bruch{{(\kappa-1)}\cdot{}M_{a1 }^{2}}{2}+1}} [/mm] $
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