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| Aufgabe | Entwickle eine Laurentreihe von f: [mm] z-->\bruch{z+i}{(z+1)(z-1)} [/mm] im Punkt 1 mit
[mm] z\in [/mm] C 0<|z-1|<2. |
Mein Ansatz , um die Haupt - und Nebenreihe zu erhalten, ist die PBZ.
Es muss gelten [mm] \bruch{z+i}{(z+1)(z-1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(z+1)} +\bruch{B}{(z-1)}
[/mm]
Daraus ergibt sich A = [mm] \bruch{1-i}{2} [/mm] und B= [mm] \bruch{1+i}{2}.
[/mm]
Wo spielt der Entwicklungspunkt 1 jetzt eine Rolle?
Wie entwickelt man jetzt die Reihe?
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Auch dir ein nettes "Hallo"!
> Entwickle eine Laurentreihe von f:
> [mm]z-->\bruch{z+i}{(z+1)(z-1)}[/mm] im Punkt 1 mit
> [mm]z\in[/mm] C 0<|z-1|<2.
> Mein Ansatz , um die Haupt - und Nebenreihe zu erhalten,
> ist die PBZ.
>
> Es muss gelten [mm]\bruch{z+i}{(z+1)(z-1)}[/mm] = [mm]\bruch{A}{(z+1)} +\bruch{B}{(z-1)}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich A = [mm]\bruch{1-i}{2}[/mm] und B=
> [mm]\bruch{1+i}{2}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wo spielt der Entwicklungspunkt 1 jetzt eine Rolle?
> Wie entwickelt man jetzt die Reihe?
Nutze die geometrische Reihe.
Zb. für den ersten Summanden:
[mm]\frac{1-i}{2}\cdot{}\frac{1}{z+1}=\frac{1-i}{2}\cdot{}\frac{1}{2+(z-1)}=\frac{1-i}{2}\cdot{}\frac{1}{2-[-(z-1)]}=\frac{1-i}{4}\cdot{}\frac{1}{1-\left[-\frac{z-1}{2}\right]}=\frac{1-i}{4}\cdot{}\sum\limits_{k\ge 0}\left(-\frac{z-1}{2}\right)^k=\frac{1-i}{4}\cdot{}\sum\limits_{k\ge 0}\left(-\frac{1}{2}\right)^k\cdot{}(z-1)^k[/mm]
Das ist also eine "normale" Potenzreihe.
Das Ganze für [mm]\left|-\frac{z-1}{2}\right|<1[/mm], also [mm]|z-1|<2[/mm]
Um den anderen Summanden kümmere du dich mal ...
Gruß
schachuzipus
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wie kommst du auf den zweiten Term nach dem ersten Gleichheitszeichen , also auf [mm] \bruch{1}{2+(z-1)}?
[/mm]
Der Anfang des zweiten Summanden müsste dann so lauten:
[mm] \bruch{1+i}{2}*\bruch{1}{z-1}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> wie kommst du auf den zweiten Term nach dem ersten
> Gleichheitszeichen , also auf [mm]\bruch{1}{2+(z-1)}?[/mm]
$z+1=z-1+2=2+(z-1)$
Du sollst ja um 1 entwickeln, brauchst also "z-1" ...
>
> Der Anfang des zweiten Summanden müsste dann so lauten:
> [mm]\bruch{1+i}{2}*\bruch{1}{z-1}[/mm]
Ja, das nun entwickeln analog zum ersten Summanden
Gruß zurück!
schachuzipus
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Dann müsste es so aussehen:
[mm] \bruch{1+i}{2}*\bruch{1}{z-1}=\bruch{1+i}{z}*\bruch{1}{-2+(z+1)}=\bruch{1+i}{2}*\bruch{1}{-2-[-(z-1)}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Dann müsste es so aussehen:
>
> [mm]\bruch{1+i}{2}*\bruch{1}{z-1}=\bruch{1+i}{z}*\bruch{1}{-2+(z+1)}=\bruch{1+i}{2}*\bruch{1}{-2-[-(z-1)}[/mm]
Demnach wäre $z-1=-2-(-(z-1))$
Was sagen die Rechenregeln dazu?
Da steht doch schon direkt $z-1$ im Nenner, du hast also schon die nötige Form ...
Gruß
schachuzipus
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ich habe mich auch schon gewundert.
Dann müsste da doch stehen:
[mm] \bruch{1+i}{2}*\bruch{1}{z-1}=\bruch{1+i}{2}*\summe_{k>=0}(\bruch{1}{z-1})^k
[/mm]
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Hallo nochmal,
> ich habe mich auch schon gewundert.
> Dann müsste da doch stehen:
> [mm]\bruch{1+i}{2}*\bruch{1}{z-1}=\bruch{1+i}{2}*\summe_{k>=0}(\bruch{1}{z-1})^k[/mm]
Nein, das ist Quatsch!
Du solltest die geometrischen reihen nacharbeiten ...
Rumraten bringt nicht so viel 
Gruß
schachuzipus
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Was heißt nacharbeiten?
es war rumraten, ich dachte es wäre richtig.
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da fehlte das Wort kein (gerade)
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Hallo nochmal,
> Was heißt nacharbeiten?
> es war rumraten, ich dachte es wäre richtig.
Ich meinte, dass nicht gilt:
[mm]\frac{1}{z-1}=\sum\limits_{k\ge 0}\left(\frac{1}{z-1}\right)^k[/mm]
Andererseits war mein Hinweis nicht so "glücklich" ...
Üblicherweise geht das wohl so:
[mm]\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z}\cdot{}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\frac{1}{z}\cdot{}\sum\limits_{k\ge 0}\left(\frac{1}{z}\right)^k=\sum\limits_{k\ge 0}\left(\frac{1}{z}\right)^{k+1}=\sum\limits_{k\ge 1}z^{-k}[/mm] (für [mm]\left|\frac{1}{z}\right|<1[/mm], also [mm]|z|>1[/mm])
Allerdings bekomme ich nicht so recht den Entwicklungspunkt [mm]z_0=1[/mm] "eingebaut".
Habe wohl gerade ein Brett vor dem Kopf.
Ich lasse es daher mal auf "teilweise beantwortet"
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 22.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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