Laurentreihe aufstellen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Mo 20.02.2012 | | Autor: | dfn |
| Aufgabe | Geben Sie die Laurentreihen für [mm] 1/z^2
[/mm]
um z0 = 1 (!) für die beiden passenden Ringe (die sollten jeweils genau
angegeben werden)an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Halloo,
also ich weiss garnicht wo ich dieser Aufgabe anfangen soll:S Ich weiss, dass die Laurentreihe eine Erweiterung der Taylorreihe ist und hier auch negative Potenzen angegeben werden können..die Formeln für die Laurentreihe habe ich auch parat aber wie ich nun mit dieser Aufgabe anfange weiss ich nicht. Ich habe mal andere Aufgaben angeguckt aber habe leider nichts verstanden.Es wird immer mit einer Partialbruchzerlegung angefangen, jedoch brauche ich diese doch nicht bei meiner Aufgabe oder?
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Hallo dfn,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Geben Sie die Laurentreihen für [mm]1/z^2[/mm]
> um z0 = 1 (!) für die beiden passenden Ringe (die
> sollten jeweils genau
> angegeben werden)an.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Halloo,
>
> also ich weiss garnicht wo ich dieser Aufgabe anfangen
> soll:S Ich weiss, dass die Laurentreihe eine Erweiterung
> der Taylorreihe ist und hier auch negative Potenzen
> angegeben werden können..die Formeln für die Laurentreihe
> habe ich auch parat aber wie ich nun mit dieser Aufgabe
> anfange weiss ich nicht. Ich habe mal andere Aufgaben
> angeguckt aber habe leider nichts verstanden.Es wird immer
> mit einer Partialbruchzerlegung angefangen, jedoch brauche
> ich diese doch nicht bei meiner Aufgabe oder?
Die Partialbruchzerlegung wird hier nicht benötigt.
Entwickle zunächst [mm]\bruch{1}{z}[/mm] in eine geometrische Reihe um [mm]z_{0}=1[/mm]
Hierbei gibt es 2 Fälle:
i) [mm]\vmat{z-z_{0}} < 1[/mm]
ii) [mm]\vmat{z-z_{0}} > 1[/mm]
Für jeden dieser Fälle ist eine Reihe zu bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mo 20.02.2012 | | Autor: | dfn |
Danke für die schnelle Antwort:
Also die Formel für die Laurentreihe sieht ja so aus: [mm] \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-c)^n [/mm]
Ist dann meine Laurentreihe für 1/z irgendwie so :
[mm] \sum_{n=0}^\infty 1/z^n (z-1)^n [/mm]
Ich merke gerade, dass ich nicht nur ein Problem mit Reihen habe sondern eigentlich garkeine Ahnung davon habe:S
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Hallo dfn,
> Danke für die schnelle Antwort:
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> Also die Formel für die Laurentreihe sieht ja so aus:
> [mm]\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-c)^n[/mm]
>
> Ist dann meine Laurentreihe für 1/z irgendwie so :
>
> [mm]\sum_{n=0}^\infty 1/z^n (z-1)^n[/mm]
>
Nein.
Forme zunächst so um:
[mm]\bruch{1}{z}=\bruch{1}{\left(z-1\right)+1}=\bruch{1}{1-\left( \ -\left(z-1\right) \right)}[/mm]
Der Ausdruck [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] sollte Dir bekannt vorkommen.
> Ich merke gerade, dass ich nicht nur ein Problem mit Reihen
> habe sondern eigentlich garkeine Ahnung davon habe:S
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mo 20.02.2012 | | Autor: | dfn |
Das war eine super Hilfe Dankeschön!
also wenn ich aus 1/1-(-(z-1)) die geometrische Reihe entwickle bekomme ich für 1/z = [mm] -[-1+(z-1)+(z-1)^2+(z-1)^3 [/mm] ... raus
dann müsste die Summenformel folgendermaßen aussehen:
1/z = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} (z-1)^n
[/mm]
oder?
Ich hoffe ich bin nun auf dem richtigen Pfad:S
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Hallo dfn,
> Das war eine super Hilfe Dankeschön!
>
> also wenn ich aus 1/1-(-(z-1)) die geometrische Reihe
> entwickle bekomme ich für 1/z = [mm]-[-1+(z-1)+(z-1)^2+(z-1)^3[/mm]
> ... raus
>
> dann müsste die Summenformel folgendermaßen aussehen:
>
> 1/z = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} (z-1)^n[/mm]
>
> oder?
>
Ja, diese Reihe konvergiert für [mm]\vmat{z-1}< 1[/mm]
Um die Reihe für [mm]\bruch{1}{z^{2}}[/mm] zu bekommen,
differenzierst Du diese Reihe nach z.
> Ich hoffe ich bin nun auf dem richtigen Pfad:S
>
Ja.
Gesucht ist allerdings noch eine Reihe, die für [mm]\vmat{z-1} > 1[/mm] konvergiert.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mo 20.02.2012 | | Autor: | dfn |
hallo MathePower,
also für $ [mm] \vmat{z-1} [/mm] > 1 $ wäre die geometrische Reihe ja nicht mehr konvergent.
Müsste ich dann sowas in der Art machen:
[mm] \bruch{1/z}{(1/z)-(-(1-1/z))} [/mm]
Dann könnte ich doch die geometrische Reihe hier auch wieder anwenden. Nur wüsste ich dann nicht was ich mit dem 1/z mache da die Formel ja 1/1-q ist. Sonst wüsste ich nicht was ich machen soll:S
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Hallo dfn,
> hallo MathePower,
>
>
> also für [mm]\vmat{z-1} > 1[/mm] wäre die geometrische Reihe ja
> nicht mehr konvergent.
> Müsste ich dann sowas in der Art machen:
> [mm]\bruch{1/z}{(1/z)-(-(1-1/z))}[/mm]
>
> Dann könnte ich doch die geometrische Reihe hier auch
> wieder anwenden. Nur wüsste ich dann nicht was ich mit dem
> 1/z mache da die Formel ja 1/1-q ist. Sonst wüsste ich
> nicht was ich machen soll:S
Ausgehend von dem Ausdruck
[mm]\bruch{1}{z}=\bruch{1}{\left(z-1\right)+1}[/mm]
wird jetzt z-1 ausgeklammert:
[mm]\bruch{1}{\left(z-1\right)+1}=\bruch{1}{z-1}*\bruch{1}{1+\bruch{1}{z-1}}[/mm]
Dies wird dann noch etwas umgeformt,
dann kannst dies in ein geometrische Reihe entwickeln.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Mo 20.02.2012 | | Autor: | dfn |
ok habe jetzt für $ [mm] \vmat{z-1} [/mm] > 1 $ die Summenformel [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1) (-1)^n}{(z-1)^(n+2)} [/mm] rausbekommen. Ich denke damit wäre die Aufgabe gelöst.
Ich bedanke mich herzlich für die Hilfe:)))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Mo 20.02.2012 | | Autor: | MathePower |
Hallo dfn,
> ok habe jetzt für [mm]\vmat{z-1} > 1[/mm] die Summenformel
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1) (-1)^n}{(z-1)^(n+2)}[/mm]
> rausbekommen. Ich denke damit wäre die Aufgabe gelöst.
>
Korrekt lautet die Reihe:
[mm]\summe_{n=\blue{0}}^{\infty} \bruch{(n+1) (-1)^{n\blue{+1}}}{(z-1)^{n+2}[/mm]
> Ich bedanke mich herzlich für die Hilfe:)))
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Mo 20.02.2012 | | Autor: | dfn |
hmmmm warum heisst es denn bei der Ableitung von der Reihe von 1/z [mm] (-1)^n+1? [/mm] Ich häng da irgendwie. Mir fehlt glaube ich eine Regel was die Ableitung von Reihen angeht. Wenn ich die Reihe ausschreibe sieht es ganz logisch aus aber da sollte man so auch draufkommen oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mo 20.02.2012 | | Autor: | dfn |
hmmmm warum heisst es denn bei der Ableitung von der Reihe von 1/z $ [mm] (-1)^n+1? [/mm] $ Ich häng da irgendwie. Mir fehlt glaube ich eine Regel was die Ableitung von Reihen angeht. Wenn ich die Reihe ausschreibe sieht es ganz logisch aus aber da sollte man so auch draufkommen oder?
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Hallo dfn,
>
> hmmmm warum heisst es denn bei der Ableitung von der Reihe
> von 1/z [mm](-1)^n+1?[/mm] Ich häng da irgendwie. Mir fehlt glaube
> ich eine Regel was die Ableitung von Reihen angeht. Wenn
> ich die Reihe ausschreibe sieht es ganz logisch aus aber da
> sollte man so auch draufkommen oder?
Der Exponent von -1 lautet bei der differenzierten Reihe n.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Mo 20.02.2012 | | Autor: | dfn |
hmmmm ok
herzlichen Dank nochmal.
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