Laurentreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Mi 28.05.2008 | | Autor: | verkackt |
| Aufgabe | Sei [mm] f(z)=\summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{1}{1+4^n} z^n :=\limes_{m\rightarrow\infty} \summe_{n=-m}^{m}\bruch{1}{1+4^n} z^n
[/mm]
1.Für welches z [mm] \in \IC [/mm] ist f(z) wolhdefiniert?Zeigen Sie, dass f holomorph ist auf dem Inneren des Definitionsgebietes.
2.Berechnen Sie [mm] \integral_{|z|=2}^{}{f(z) dz}
[/mm]
3.berechnen Sie den Konvergenzradius von [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)} (2)}{n!} (z-2)^n
[/mm]
4.Geben Sie eine Stammfunktion auf größmöglichen Gebiet an. |
Hallo zusammen,
Ich versuch gerd folgenden Aufgabe zu lösen, da ich aber das Thema noch nicht ganz verstanden hab, klappt es leider nicht.Ich hoffe einer wird mir helfen, um endlich das Thema zu verstehen.
Zu 1. hab ich bis jetzt leider nichts.Ich weiß, dass die Potenzreihen innerhalb des Konvergenzradius unendlich oft differenzierbar sind.Hier weiß ich nicht, ob es auch für die Laurentreihe gilt oder nicht, wobei der Hauptteil der Reihe eine Potenzreihe ist.
Zu 2.Hab ich öfters gelesen, dass man nur den Koeffizient [mm] a_{-1} [/mm] betrachten soll.Somit bekomm ich
[mm] \bruch{8}{5} \pi [/mm] i raus.Versteh ich aber nicht warum?
zu 3.Hier hab ich erst mit der Qutientenregel versucht, den Radius zu bestimmen, hat aber leider nicht funktioniert.
Zu 4.Eine Stammfunktion kann man nur dann angeben, wenn man [mm] z^{-1} [/mm] rausnimmt und dann kann man ganz normal aufleiten, oder?
Es wäre super nett, wenn einer mich aufklären könnte.Besten Dank im Voraus.
Lg.V.
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> Sei [mm]f(z)=\summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{1}{1+4^n} z^n :=\limes_{m\rightarrow\infty} \summe_{n=-m}^{m}\bruch{1}{1+4^n} z^n[/mm]
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> 1.Für welches z [mm]\in \IC[/mm] ist f(z) wolhdefiniert?Zeigen Sie,
> dass f holomorph ist auf dem Inneren des
> Definitionsgebietes.
[mm]\summe_{n=0}^\infty \frac{1}{1+4^n}z^n[/mm]
konvergiert für $|z|<4$ und
[mm]\summe_{n=-\infty}^{-1}\frac{1}{1+4^n}z^n=\summe_{n=1}^\infty\frac{1}{1+4^{-n}}\left(z^{-1}\right)^n[/mm]
konvergiert für [mm] $\left|z^{-1}\right|<1$, [/mm] d.h. für $1<|z|$. Somit konvergiert die Laurentreihe für $1<|z|<4$.
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> Sei [mm]f(z)=\summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{1}{1+4^n} z^n :=\limes_{m\rightarrow\infty} \summe_{n=-m}^{m}\bruch{1}{1+4^n} z^n[/mm]
>
> 1.Für welches z [mm]\in \IC[/mm] ist f(z) wolhdefiniert?Zeigen Sie,
> dass f holomorph ist auf dem Inneren des
> Definitionsgebietes.
> 2.Berechnen Sie [mm]\integral_{|z|=2}^{}{f(z) dz}[/mm]
> 3.berechnen
> Sie den Konvergenzradius von
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)} (2)}{n!} (z-2)^n[/mm]
>
> 4.Geben Sie eine Stammfunktion auf größmöglichen Gebiet
> an.
> Hallo zusammen,
> Ich versuch gerd folgenden Aufgabe zu lösen, da ich aber
> das Thema noch nicht ganz verstanden hab, klappt es leider
> nicht.Ich hoffe einer wird mir helfen, um endlich das Thema
> zu verstehen.
> Zu 1. hab ich bis jetzt leider nichts.Ich weiß, dass die
> Potenzreihen innerhalb des Konvergenzradius unendlich oft
> differenzierbar sind.Hier weiß ich nicht, ob es auch für
> die Laurentreihe gilt oder nicht, wobei der Hauptteil der
> Reihe eine Potenzreihe ist.
> Zu 2.Hab ich öfters gelesen, dass man nur den Koeffizient
> [mm]a_{-1}[/mm] betrachten soll.Somit bekomm ich
> [mm]\bruch{8}{5} \pi[/mm] i raus.Versteh ich aber nicht warum?
Du gibst Dir die Antwort auf diese Frage in Deiner Bemerkung zur Lösung der 4. Teilaufgabe im Grunde selbst: Ist [mm] $f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n z^n$ [/mm] die Laurententwicklung von $f$ um [mm] $z_0=0$, [/mm] dann lässt sich [mm] $f(z)=\frac{a_{-1}}{z}+g(z)$ [/mm] schreiben, wobei $g(z) := [mm] \sum_{n\neq -1} a_nz^n$. [/mm] Da $g(z)$ die Stammfunktion [mm] $\sum_{n\neq -1}\frac{a_n}{n+1}z^{n+1}$ [/mm] besitzt, verschwindet das Integral über den geschlossenene Weg [mm] $\gamma$ [/mm] für diesen Teil von $f(z)$. Es bleibt also nur das Integral [mm] $\int_\gamma \frac{a_{-1}}{z}dz$.
[/mm]
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> Sei [mm]f(z)=\summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{1}{1+4^n} z^n :=\limes_{m\rightarrow\infty} \summe_{n=-m}^{m}\bruch{1}{1+4^n} z^n[/mm]
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> 1.Für welches z [mm]\in \IC[/mm] ist f(z) wolhdefiniert?Zeigen Sie,
> dass f holomorph ist auf dem Inneren des
> Definitionsgebietes.
> 2.Berechnen Sie [mm]\integral_{|z|=2}^{}{f(z) dz}[/mm]
> 3.berechnen
> Sie den Konvergenzradius von
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)} (2)}{n!} (z-2)^n[/mm]
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> 4.Geben Sie eine Stammfunktion auf größmöglichen Gebiet
> an.
> zu 3.Hier hab ich erst mit der Qutientenregel versucht,
> den Radius zu bestimmen, hat aber leider nicht
> funktioniert.
Da die Laurentreihe, mit deren Hilfe $f(z)$ definiert wurde, für $1<|z|<4$ konvergiert, aber für $z=4$ divergiert, kann der Radius des Konvergenzkreises der Potenzreihe bei Entwicklung um [mm] $z_0=2$ [/mm] jedenfalls nicht grösser als $4-2=2$ sein. Da die Kreisscheibe $|z-2|<2$ mit Radius $r=2$ um [mm] $z_0=2$ [/mm] ganz im Innern des Konvergenzbereiches der Laurentreihe von $f(z)$ liegt, ist der Radius des Konvergenzkreises der Potenzreihe aber auch nicht kleiner als $2$. - Also ist er gleich $2$.
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