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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:37 Mo 30.01.2006 | | Autor: | MrBurns |
ich suche einen Lösungsweg für die Laurentreihe für f(z)= [mm] \bruch{1}{z(z-1)} [/mm] für |z|>1 (Entwicklung um z=0, z [mm] \in \IC).
[/mm]
Im Buch "Höhere Mathematik 2" von Mayberg und Vachenauer ist folgende Lösung angegeben:
f(z)=- [mm] \bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{ \infty}\bruch{1}{z^{k+1}}= \summe_{k=2}^{ \infty}\bruch{1}{z^{k}}
[/mm]
Die Lösung für den Bereich 0<|z|<1 konnte ich ohne Probleme berechnen, sie lautet:
[mm] f(z)=-\bruch{1}{z} -\summe_{k=0}^{ \infty}z^{n}
[/mm]
Dazu hab ich folgende Formeln verwendet:
f(z)=H(z)+ [mm] \summe_{n=0}^{ \infty}c_{n}z^{n}
[/mm]
Wobei H(z) der Hauptteil ist und der Rest ist der Nebenteil [mm] (z_{0}=0):
[/mm]
H(z)= [mm] \bruch{ f_{1}(z)}{z} [/mm] an der Stelle [mm] z=z_{0} [/mm] mit [mm] f_{1}(z)=(z-z_{0})f(z)=z*f(z)
[/mm]
Und im Nebenteil ist [mm] c_{n} [/mm] gegeben als Residuum der Funktion [mm] g(z)=\bruch{f(z)}{z^{n+1}} [/mm] für [mm] z_{0}.
[/mm]
Mein problem ist, dass ich bei der Entwicklung |z|>1 ich manchmal den Mittelpunkt der Laurent-Reihe [mm] z_{0}=0 [/mm] benutzen muß und manchmal den Punkt der zweiten Singularität [mm] z_{1}=1 [/mm] benutzen muß un nicht weiß, wann ich welchen Punkt benutzen muß.
Ich bräuchte eine Antwort vorm 31.1. (spätestens 31.1. 7:00), weil ich muß dieses beispiel dann am 31.1. in der letzen Proseminarstunde können, die entscheidet, ob ich auf dieses Proseminar einen 4er oder einen 5er bekomme.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo MrBurns!
Der Entwicklungspunkt war ja hier angegeben; daher stellt sich das Problem nicht.
Zur Rechnung selbst: Für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z|>1$ gilt:
$f(z) = [mm] \frac{1}{z(z-1)}$
[/mm]
$= - [mm] \frac{1}{z} [/mm] + [mm] \frac{1}{z-1}$
[/mm]
$= - [mm] \frac{1}{z} [/mm] + [mm] \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{z}}$
[/mm]
$= - [mm] \frac{1}{z} [/mm] + [mm] \frac{1}{z} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{z^k}$
[/mm]
$= - [mm] \frac{1}{z} [/mm] + [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{z^{k+1}}$
[/mm]
$= - [mm] \frac{1}{z} [/mm] + [mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{z^{k}}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{z^k}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:12 Mo 30.01.2006 | | Autor: | MrBurns |
Bis dahin: $ = - [mm] \frac{1}{z} [/mm] + [mm] \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{z}} [/mm] $
Ist mir alles klar, aber den nächsten Schritt versteh ich nicht.
Ich werd aber auch erklären müßen, was ich in diesem proseminar vortrage....
Das Psoblem, ob ich den Punkt 0 oder 1 verwenden soll war gemeint, dass immer in den Formeln so ein Punkt [mm] z_{0} [/mm] oder [mm] z_{1} [/mm] (ist nicht unbedingt identisch mit dem [mm] z_{0} [/mm] und [mm] z_{1}, [/mm] das ich verwendet hab). Und ich weiß nicht, wann mit diesem [mm] z_{0} [/mm] oder [mm] z_{1} [/mm] der Entwicklungspunkt (in diesem Fall z=0) und wann die für den gewählten Radius maßgebliche Singularität (in dem Fall bei z=1) gemeint ist.
[mm] z_{0} [/mm] oder [mm] z_{1} [/mm] kommen vor bei den in [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}c_{n}*(z-z_{0})^{n} [/mm] bzw. [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}c_{-n}*(z-z_{0})^{n}, [/mm] sowie bei den Residuen, die man für den Nebenteil (also für die [mm] c_{n}, [/mm] nicht die [mm] $c_{-n}$) [/mm] braucht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 Mo 30.01.2006 | | Autor: | MrBurns |
Ich hab weiß jetzt, wie sie auf diese Umformung, die ich vorher nicht verstanden hab kommen:
die Lösung ist die Formel für die Konvergenz von geometrischen Reihen, die ich schon längst vergessen hab. Die entspricht nämlich genau dieser Umformung.
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