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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Di 29.10.2013 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Man bestimme alle Taylor- und Laurent-Reihenentwicklungen der Funktion [mm] f(z)=\bruch{3z-2}{z^{2}-z} [/mm] mit Konvergenzbereich zum Entwicklungspunkt [mm] z_{0}=1. [/mm] |
Hallo.
Ich habe bereits eine Partialbruchzerlegung durchgeführt. Hierfür erhalte ich: f(z)= [mm] \bruch{3z-2}{z^{2}-z} [/mm] = [mm] \bruch{2}{z} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z-1}
[/mm]
Also liegen bei z=0 und z=1 Polstellen sprich Singularitäten vor.
Wenn ich jetzt meine Laurentreihe entwicklen möchte betrachte ich erstmal folgenden Bereich: |z-1|=1, also das Innere meines Kreises um den Entwicklungspunkt bis zu ersten Singularität. Für [mm] \bruch{2}{z} [/mm] erhalte ich dann [mm] \bruch{2}{z} [/mm] = [mm] \bruch{2}{1+(z-1)} [/mm] = [mm] 2*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}*(z-1)^{n}
[/mm]
Aber was passiert nun mit [mm] \bruch{1}{z-1} [/mm] ? Wie kann ich den entwicklen? Oder darf ich das gar nicht? Irgendwie ist mir noch nicht so klar was da abläuft.
Über Hilfe und Tipps wäre ich sehr dankbar!
Viele Grüße.
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Bisher ist alles richtig.
[mm] \bruch{1}{z-1} [/mm] ist bereits die komplette Laurent-Reihe von sich selber um den Punkt z=1, d.h., diese Reihe besteht nur aus einem Glied [mm] (z-1)^{-1}. [/mm] Die Summe aus beiden Reihen stellt somit die Reihe innerhalb des Konvergenzkreises dar.
Jetzt fehlt dir noch die Darstellung für beide Summanden außerhalb des Kreises. Dabei ändert sich nur die Darstellung des ersten Summanden, du erhältst nun auch dafür Summanden mit negativem Exponenten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mi 30.10.2013 | | Autor: | Calculu |
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe!
Im Komplexen ist es ja immer etwas schwieriger, sich das ganze bildhaft vorzustellen. Aber gibt es eine Möglichkeit zu veranschaulichen, warum [mm] \bruch{1}{z-1} [/mm] schon die ganze Reihe darstellt?
Der Rest müsste dann wie folgt lauten:
Für |z-1|>1
[mm] \bruch{2}{z} [/mm] = [mm] \bruch{2}{1+(z-1)} [/mm] = [mm] \bruch{2}{z-1}*\bruch{1}{\bruch{1}{z-1}+1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{z-1}*\summe_{n=0}^{\infty}(-\bruch{1}{z-1})^{n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{z-1}*\summe_{n=-\infty}^{0}(-1)^{n}*({z-1})^{n}
[/mm]
also f(z)= [mm] \bruch{1}{z-1} +\bruch{2}{z-1}*\summe_{n=-\infty}^{0}(-1)^{n}*({z-1})^{n}
[/mm]
Passt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Mi 30.10.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Erstmal vielen Dank für deine Hilfe!
> Im Komplexen ist es ja immer etwas schwieriger, sich das
> ganze bildhaft vorzustellen. Aber gibt es eine Möglichkeit
> zu veranschaulichen, warum [mm]\bruch{1}{z-1}[/mm] schon die ganze
> Reihe darstellt?
Du suchst doch die Reihe
[mm] \bruch{1}{z-1} = 1 * (z-1)^{-1} = \summe_{n=-\infty}^{+\infty}a_n (z-1)^n [/mm] .
Koeffizientenvergleich ergibt, dass rechts alle [mm] $a_n$ [/mm] Null sein müssen außer $a_ {-1}=1$.
> Der Rest müsste dann wie folgt lauten:
> Für |z-1|>1
>
> [mm]\bruch{2}{z}[/mm] = [mm]\bruch{2}{1+(z-1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{z-1}*\bruch{1}{\bruch{1}{z-1}+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{z-1}*\summe_{n=0}^{\infty}(-\bruch{1}{z-1})^{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{z-1}*\summe_{n=-\infty}^{0}(-1)^{n}*({z-1})^{n}[/mm]
>
> also [mm]f(z)= \bruch{1}{z-1} +\bruch{2}{z-1}*\summe_{n=-\infty}^{0}(-1)^{n}*({z-1})^{n}[/mm]
>
> Passt das so?
Ja, aber du solltest die Terme noch zusammenfassen, denn in der Summe steckt auch noch ein Term der Form [mm] $\bruch{1}{z-1}$:
[/mm]
[mm]f(z)= \bruch{1}{z-1} +\bruch{2}{z-1}*\summe_{n=-\infty}^{0}(-1)^{n}*({z-1})^{n}[/mm]
[mm] = \bruch{1}{z-1} + \bruch{2}{z-1} + \bruch{2}{z-1}*\summe_{n=-\infty}^{-1}(-1)^{n}*({z-1})^{n}[/mm]
[mm] = \bruch{3}{z-1} + 2\summe_{n=-\infty}^{-1} (-1)^{n}*({z-1})^{n-1}[/mm]
[mm] = \bruch{3}{z-1} + 2\summe_{n=-\infty}^{-2} (-1)^{n+1}*({z-1})^{n}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Do 31.10.2013 | | Autor: | Calculu |
Hey!
Jetzt ist mir einiges klarer geworden!
Vielen Dank für deine Hilfe!
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