Laurententwicklung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich habe Probleme die Taylorreihe zur Funktion zu finden, aber erstmal die Aufgabe:
Geben Sie die Laurententwicklung der Funktion
f(z)=1/( [mm] z^{3}+2z) [/mm]
bei [mm] z_{0}=0, [/mm] deren Hauptteil und den Konvergenzbereich der Reihe an.
So, ich habe zuerst die Funktion vereinfacht: 1/z*1/( [mm] z^{2}+2).
[/mm]
1/z ist Pol erster Ordnung, der zweite Teil der Funktion ist holomorph, d.h. ich muss eine Taylorreihe entwickeln um den Punkt 0 mit der holomorphen Funktion. Folgende Taylorkoeffizienten, besser gesagt die Ableitungen habe ich ermittelt.
[mm] g(z)=1/(z^{2}+2) [/mm]
g'(z)=-2z/( [mm] (z^{2}+2)^{2})
[/mm]
Die nächste Ableitung ist recht kompliziert schnell hier einzutippen, deswegen lass ich es lieber.
Ich sehe keine Regelmäßigkeit bei der Taylorreihe. Habe ich evtl. die Ableitungen falsch oder etwas anderes?
Diese holomorphe Funktion kann man auch nicht umformen(meiner Meinung nach) in eine geometrische, oder harmonische Reihe.
Nur wenn ich die Taylorreihe habe, komme ich bei der Aufgabe weiter,
Ich hoffe jemand hilft mir. Danke dafür im Voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, als erstes musst du einmal eine Partialbruchzerlegung machen.
Bestimme $A$, $B$, $C$ mit
[mm] $\frac{1}{z^3+2z} [/mm] = [mm] \frac{A}{z} [/mm] + [mm] \frac{B}{z+i\sqrt{2}} [/mm] + [mm] \frac{C}{z-i\sqrt{2}}$.
[/mm]
Jetzt die beiden hinteren Teile nach Kürzen mit [mm] $i\sqrt{2}$ [/mm] bzw. [mm] $-i\sqrt{2}$ [/mm] in eine geometrische Reihe verwandeln.
Schau dich mal im Uni-Funktionentheorie-Forum in Ruhe um; du siehst dort ganz viele durchgerechnete Beispiele, die so ähnlich gehen.
Anschließend kannst du dich dann ja gerne mit einer eigenen Rechnung mal melden!
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
