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Aufgabe
Entwickle die folgenden Funktionen jeweils in eine Laurent-Reihe um den Nullpunkt und bestimme die Art der Singularität 0:
[mm] a)\bruch{1}{z(1-z)} [/mm] ; [mm] b)\bruch{sin 2z}{z} [/mm] ; c) [mm] z^{3} [/mm] cos [mm] \bruch{1}{z} [/mm] .
Hallo an alle,
ich schäme mich ja fast, diese Aufgabe, hier reinzustellen, da sie sicher sehr einfach ist. Mein Problem ist einfach - ich kann nicht mal anfangen, auch wenn ich die Theorie dazu verstanden habe. Habe wohl bei der "Entwicklung" geschlafen....
Kann mir jemand bitte erklären, wie ich allgemein(!) eine Funktion in eine Laurent-Reihe entwickle? Ich hab keine Ahnung... hab im Inet was von Differenzieren und Koeff.vergleich gelesen, aber das hat mir nicht weitergeholfen, weil ich garnicht wüsste, was dann richtiges rauskommen sollte....!
Nachdem ich das allgemein kapiert hab, kann ich mich ja hier noch an eine der obigen Teilaufgaben wagen um ein Feedback zu erhalten, ob ichs jetzt kapiert habe - das wäre ideal!
Vielen Dank schon mal im Voraus, wenn es jemand versucht, mir das näher zu bringen... ;) ,
FilleDeDanann
PS: Falls die Frage doppelt im Forum steht, bitte eine löschen - ich hatte Probleme mit dem Server, die Frage erschien einfach nicht im Forum... sorry!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Mo 01.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aufgabe
> Entwickle die folgenden Funktionen jeweils in eine
> Laurent-Reihe um den Nullpunkt und bestimme die Art der
> Singularität 0:
> [mm]a)\bruch{1}{z(1-z)}[/mm] ; [mm]b)\bruch{sin 2z}{z}[/mm] ; c) [mm]z^{3}\cos\bruch{1}{z}[/mm] .
>
>
> Hallo an alle,
>
> ich schäme mich ja fast, diese Aufgabe, hier reinzustellen,
> da sie sicher sehr einfach ist. Mein Problem ist einfach -
> ich kann nicht mal anfangen, auch wenn ich die Theorie dazu
> verstanden habe. Habe wohl bei der "Entwicklung"
> geschlafen....
> Kann mir jemand bitte erklären, wie ich allgemein(!) eine
> Funktion in eine Laurent-Reihe entwickle? Ich hab keine
> Ahnung... hab im Inet was von Differenzieren und
> Koeff.vergleich gelesen, aber das hat mir nicht
> weitergeholfen, weil ich garnicht wüsste, was dann
> richtiges rauskommen sollte....!
> Nachdem ich das allgemein kapiert hab, kann ich mich ja
> hier noch an eine der obigen Teilaufgaben wagen um ein
> Feedback zu erhalten, ob ichs jetzt kapiert habe - das wäre
> ideal!
Ganz allgemein, also für eine Funktion, über die du sonst nichts weisst, hilft dir nur die Integralformel für die Koeffizienten.
In vielen Fällen kann man sich aber an die Funktion heranarbeiten.
Zum Beispiel: Wenn du weisst, dass die Funktion $f(z)$ im Entwicklungspunkt [mm] $z_0$ [/mm] einen Pol n-ter Ordnung hat, dann weisst du auch, dass der Hauptteil der Laurentreihe nur von [mm] $\bruch{1}{(z-z_0)}$ [/mm] bis [mm] $\bruch{1}{(z-z_0)^n}$ [/mm] geht. Daraus folgt, dass die Funktion [mm] $g(z)=(z-z_0)^n*f(z)$ [/mm] holomorph ist und sich daher in eine Taylorreihe um [mm] $z_0$ [/mm] entwickeln lässt. Die Laurentreihe von $f(z)$ ergibt sich daraus durch gliedweise Division durch [mm] $(z-z_0)^n$. [/mm] Mit dieser Überlegung kannst du alle rationalen Funktionen entwickeln.
In andern Fällen kannst du von bekannten Reihenentwicklungen ausgehen. In den Teilaufgaben (b) und (c) solltest du die Taylorreihenentwicklungen von Sinus und Cosinus einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
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Das ist mir soweit glaub ich klar gewesen, nur weiß ich nicht, wie man "entwickelt"...
Was ist denn die Reihe dann?
Wie mach ich das konkret? Was muss ich tun? (Ich weiß, das klingt wohl unverständlich, aber ich habs komplett nicht mehr auf Lager... :(!! )
Vielen Dank trotzdem,
FilleDeDanann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Mo 01.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das ist mir soweit glaub ich klar gewesen, nur weiß ich
> nicht, wie man "entwickelt"...
>
> Was ist denn die Reihe dann?
>
> Wie mach ich das konkret? Was muss ich tun? (Ich weiß, das
> klingt wohl unverständlich, aber ich habs komplett nicht
> mehr auf Lager... :(!! )
Geh doch die einzelnen Schritte mal für Teilaufgabe (a) durch! Welche Ordnung hat der Pol, wie sieht also $g(z)$ aus?
Viele Grüße
Rainer
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Das hab ich vorhin schon gemacht, aber bin dann nicht weit gekommen.... ich glaub das lag daran, dass ich ja 0 nicht in 1/z einsetzen kann.... dann bekomm ich kein erstes Glied... nun ja.... neuer Versuch:
also der Pol für z=1 ist 1.Ordnung, für z=0 auch. (wobei ich da nicht sicher bin ob das ein Pol auch ist. Das soll ich doch laut Aufgabenstellung erst noch rausfinden....oder?
dann habe ich für g(z) folgendes: g(z) = [mm] (z-1)f(z)=-\bruch{1}{z}
[/mm]
So und jetzt entwickeln.... du sagtest Taylor, wobei ich mir da total unsicher bin, weil ja die Laurent von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] gehen soll..... wie gesagt, ich bin da nicht so fit... aber was mach ich da? erstes Glied wäre dann wohl -1, wenn ich für z 1 einsetze. und dann ableiten oder? Aber wie krieg ich da meine Reihe die dann von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] geht?? Und vor allem soll ich ja um Null entwickeln, nicht um 1.... :( Muss ich dann [mm] g(z)=\bruch{1}{1-z} [/mm] annehmen?? ahja, dann wäre das erste Glied wohl 1. Naja und dann weiß ich aber wieder nicht weiter wegen der Grenzen....
Sorry, aber ich bin wohl zu dumm dazu....
Lg FilleDeDanann
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Wenn ich jetzt mal stur Taylor mache, dann erhalte ich:
[mm] 1-z-z^{2}-... [/mm] usw... also [mm] \summe_{\nu=-\infty}^{\infty}\bruch{1}{z^{\nu}} [/mm] .
Ist das richtig? Wenn ja, wie kann ich da jetzt die Singulatität bei 0 bestimmen?
Danke schon mal,
FilleDeDanann
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:27 Mo 01.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das hab ich vorhin schon gemacht, aber bin dann nicht weit
> gekommen.... ich glaub das lag daran, dass ich ja 0 nicht
> in 1/z einsetzen kann.... dann bekomm ich kein erstes
> Glied... nun ja.... neuer Versuch:
>
> also der Pol für z=1 ist 1.Ordnung, für z=0 auch. (wobei
> ich da nicht sicher bin ob das ein Pol auch ist. Das soll
> ich doch laut Aufgabenstellung erst noch
> rausfinden....oder?
Das ist richtig, es sind beides Pole 1. Ordnung.
Was das Herausfinden betrifft, so ist das eigentlich klar, denn ein Pol 1. Ordnung liegt vor, wenn bei Multiplikation mit [mm] $(z-z_0)$ [/mm] eine holomorphe Funktion herauskommt:
[mm] z f(z) = \bruch{1}{1-z} [/mm] ist holomorph in 0
[mm] (z-1)f(z) = -\bruch{1}{z} [/mm] ist holomorph in 1
> dann habe ich für g(z) folgendes: g(z) =
> [mm](z-1)f(z)=-\bruch{1}{z}[/mm]
Das ist aber für den Pol bei $z=1$. Gefragt ist nach dem Verhalten an der Stelle z=0.
> So und jetzt entwickeln.... du sagtest Taylor, wobei ich
> mir da total unsicher bin, weil ja die Laurent von [mm]-\infty[/mm]
> bis [mm]\infty[/mm] gehen soll.....
Nicht bei Polen, da geht sie nur von -n bis [mm] $+\infty$.
[/mm]
> wie gesagt, ich bin da nicht so
> fit... aber was mach ich da? erstes Glied wäre dann wohl
> -1, wenn ich für z 1 einsetze. und dann ableiten oder? Aber
> wie krieg ich da meine Reihe die dann von [mm]-\infty[/mm] bis
> [mm]\infty[/mm] geht?? Und vor allem soll ich ja um Null entwickeln,
> nicht um 1.... :( Muss ich dann [mm]g(z)=\bruch{1}{1-z}[/mm]
> annehmen?? ahja, dann wäre das erste Glied wohl 1. Naja und
> dann weiß ich aber wieder nicht weiter wegen der
> Grenzen....
Das ist die richtige Funktion: [mm] $g(z)=\bruch{1}{1-z} [/mm] = zf(z)$. Diese Funktion ist, wie schon gesagt, im Punkt z=0 holomorph.
Jetzt entwickelst du diese Funktion in eine Reihe. Da hast du 2 Möglichkeiten:
1. Stur die Taylorentwicklung ausrechnen:
[mm] g(z) = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} g^{(n)}(0) z^n [/mm]
Das ist ein bischen mühsam, wegen der n-ten Ableitung [mm] $g^{(n)}(z) [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(1-z)^n}$, [/mm] aber es kommt dann
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^n [/mm]
heraus.
2. Die geometrische Reihe benutzen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^n = \bruch{1}{1-z} = g(z) [/mm]
Also hast du:
[mm] zf(z) = \summe_{n=0}^{\infty} z^n = 1 + \summe_{n=1}^{\infty} z^n = 1 + \summe_{n=0}^{\infty} z^{n+1} [/mm]
Division durch z ergibt:
[mm] f(z) = \bruch{1}{z} + \summe_{n=0}^{\infty} z^n [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
ich glaube so langsam dämmert mir mein Denkfehler...!
Danke, dass du dich mit sowas "beratungsresistentem" wie mir bemüht hast...!!! Ich versuch das einfach mal, morgen in der Übung werd ich dann nochmal gründlich aufgeklärt, aber ich wollte es eben für mich wissen bzw. verstehen, weil mir das eben mit den Grenzen so zu schaffen machte... und du hast recht, auf die Geometrische Reihe hätte man auch kommen können... ach ja, ich muss wohl mich in alte Analysissachen wieder einlesen....!
Also vielen herzlichen Dank!!!
Vg FilleDeDanann
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