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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mi 30.06.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei $E [mm] \subset \IC$ [/mm] die offene Einheitskreisscheibe und $q [mm] \in [/mm] E [mm] \backslash \{0\}$. [/mm] Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen
[mm] $f:\IC\backslash \{0\} \to \IC$ [/mm] mit $f(z) = [mm] qzf(q^{2}z)$
[/mm]
in Form ihrer Laurent-Reihe. |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Ich habe zunächst versuch etwas über die Laurent-Koeffizienten auszusagen:
Sei $R [mm] \in \IR_{+}$ [/mm] beliebig, dann besitzt f auf dem Ringgebiet [mm] $\Re=\{z\in\IC\;{|}\;0<|z|
Für den n-ten Laurent-Koeffizienten gilt:
[mm] a_{n} = \frac{1}{2\pi{i}}\int_{|w|=R}\frac{f(w)}{w^{n+1}}dw [/mm]
[mm]= \frac{1}{2\pi{i}}\int_{|w|=R}\frac{qwf(q^{2}w)}{w^{n+1}}dw[/mm]
(Nun substituiere ich [mm] $u:=q^{2}w \Rightarrow w=\frac{u}{q^2}, dw=\frac{du}{q^2}$)
[/mm]
[mm]\frac{1}{2\pi{i}}\int_{\left|\frac{u}{q^2}\right|=R}\frac{q\frac{u}{q^2}f(u)}{\left(\frac{u}{q^2}\right)^{n+1}}\frac{du}{q^2}[/mm]
[mm]= {\frac{1}{2\pi{i}}}\int_{|u|=|q^2|R}\frac{uf(u)}{u^{n+1}}q^{2n-1}du[/mm]
[mm]= \frac{1}{2\pi{i}}q^{2n-1}\int_{|u|=|q^2|R}\frac{f(u)}{u^n}du[/mm]
[mm]= q^{2n-1}a_{n-1} [/mm]
Ich weiß nun nicht wie ich dieses Ergebnis interpretieren soll. Ist das bis hierher überhaupt richtig? Oder muss ich ganz anders an die Aufgabe herangehen?
Falls es richtig ist, was sagt mir das Ergebnis?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.
Viele Grüße, Lippel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Mi 30.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]E \subset \IC[/mm] die offene Einheitskreisscheibe und [mm]q \in E \backslash \{0\}[/mm].
> Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen
> [mm]f:\IC\backslash \{0\} \to \IC[/mm] mit [mm]f(z) = qzf(q^{2}z)[/mm]
> in
> Form ihrer Laurent-Reihe.
> Hallo,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
>
> Ich habe zunächst versuch etwas über die
> Laurent-Koeffizienten auszusagen:
>
> Sei [mm]R \in \IR_{+}[/mm] beliebig, dann besitzt f auf dem
> Ringgebiet [mm]\Re=\{z\in\IC\;{|}\;0<|z|
> Laurent-Entwicklung, da f holomorph auf [mm]\IC\backslash\{0\}[/mm],
> also insbesondere auf [mm]\Re[/mm].
>
> Für den n-ten Laurent-Koeffizienten gilt:
>
> [mm]a_{n} = \frac{1}{2\pi{i}}\int_{|w|=R}\frac{f(w)}{w^{n+1}}dw[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{2\pi{i}}\int_{|w|=R}\frac{qwf(q^{2}w)}{w^{n+1}}dw[/mm]
>
> (Nun substituiere ich [mm]u:=q^{2}w \Rightarrow w=\frac{u}{q^2}, dw=\frac{du}{q^2}[/mm])
>
> [mm]\frac{1}{2\pi{i}}\int_{\left|\frac{u}{q^2}\right|=R}\frac{q\frac{u}{q^2}f(u)}{\left(\frac{u}{q^2}\right)^{n+1}}\frac{du}{q^2}[/mm]
>
> [mm]= {\frac{1}{2\pi{i}}}\int_{|u|=|q^2|R}\frac{uf(u)}{u^{n+1}}q^{2n-1}du[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{2\pi{i}}q^{2n-1}\int_{|u|=|q^2|R}\frac{f(u)}{u^n}du[/mm]
>
> [mm]= q^{2n-1}a_{n-1}[/mm]
>
> Ich weiß nun nicht wie ich dieses Ergebnis interpretieren
> soll. Ist das bis hierher überhaupt richtig?
Ja. Sieh hier.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:39 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Lippel |
Danke für den Hinweis Rainer.
Hab ja wirklich übersehen, dass die Frage schonmal da war.
Viele Grüße, Lippel
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