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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 So 11.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusamen!
Ich habe hier die Funktion [mm] f(z) = \bruch{1}{ \sin (z) } [/mm].
Die Frage ist:
Wie kann man f in eine Laurent - reihe entwickeln ohne Differentialrechnung zu benutzen ( also nicht [mm] a_n = \bruch{ f^{ (n) } (c) }{ n!} [/mm] ) ?
Meine Antwort wäre,dass man ds mit Hilfe der Reihendarstellung vom Sinus und der geometrischen Reihe machen kännte. Richtig?
Falls ja, wie?
Ich habe bis jetzt nur "einfachere" Funktionen in Laurent - Reihen mit Hilfe der geom. Reihe entwickelt, und nie solche!
Die einzigen Nullstellen der komplexen Sinus-Funktion sind [mm] k \pi, k \in \mathbb Z [/mm], und das sind dann somit die isolierten Singularitäten, um die ich entwickeln muss...
Wie gehe ich da konkret vor?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 So 11.05.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo Irmchen,
Du kannst folgenden Ansatz versuchen, fertig zu rechnen:
[mm]\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{1-(1-\sin z)} = \sum_{n \geq 0} (1-\sin z)^n[/mm]
Wenn du den Binom ausmultiplizierst, die (formale) Potenzreihe für den Sinus einsetzt und dann nach Koeffizienten zusammenfasst, könnte das Gesuchte rauskommen, aber ich muss gestehen dass ich's nicht weiter durchgerechnet hab.
Viele Grüsse,
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 So 11.05.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo Irmchen,
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> Du kannst folgenden Ansatz versuchen, fertig zu rechnen:
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> [mm]\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{1-(1-\sin z)} = \sum_{n \geq 0} (1-\sin z)^n[/mm]
>
> Wenn du den Binom ausmultiplizierst, die (formale)
> Potenzreihe für den Sinus einsetzt und dann nach
> Koeffizienten zusammenfasst, könnte das Gesuchte
> rauskommen, aber ich muss gestehen dass ich's nicht weiter
> durchgerechnet hab.
Nein, das geht für eine Entwicklung um [mm] $z_0=0$ [/mm] nicht, weil in diesem Falle [mm] $\frac{1}{1-(1-\sin(z_0))}=\frac{1}{0}$ [/mm] wäre. Ist ja offensichtlich auch keine Laurentreihe, obwohl die Funktion [mm] $f(z)=\frac{1}{\sin(z)}$ [/mm] nicht in einer ganzen Umgebung des Entwicklungspunktes [mm] $z_0=0$ [/mm] analytisch sein kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 So 11.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Und was bedeutet das? Kann ich die Funktion überhaupt dann in eine Laurentreihe entwickeln?
Viele Grüße
Irmchen
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> Hallo!
>
> Und was bedeutet das?
Nichts weiter: nur, dass sich diese Funktion nicht in eine blosse Potenzreihe entwickeln lässt, sonder dass sie eben, wie Du ja selbst angenommen hattest, in eine Laurentreihe entwickelt werden muss. Das heisst, es müssen auch negative Potenzen von [mm] $z-z_0$ [/mm] in der Reihenentwicklung auftreten.
Mein CAS Programm sagt mir gerade, dass [mm] $\frac{1}{\sin(z)} [/mm] = [mm] \frac{1}{z}+\frac{1}{6}z+\frac{7}{360}z^3+O(z^5)$ [/mm] ist.
> Kann ich die Funktion überhaupt dann
> in eine Laurentreihe entwickeln?
Natürlich schon, denn $g(z) := [mm] z\cdot [/mm] f(z)$ ist an der Stelle [mm] $z_0=0$ [/mm] analytisch, lässt sich dort also in eine Potenzreihe entwickeln. Diese Potenzreihe dividiert man dann gliedweise durch $z$ um die Laurentreihe von $f(z)$ zu erhalten. Zur Berechnung der Koeffizienten der Reihenentwicklung von $g(z)$ benutzt man, mangels einer besseren Idee, die $n$-ten Ableitungen von $g(z)$. Etwas wesentlich schlaueres / einfacheres fällt mir leider auch nicht gerade ein.
Allgemein: wenn $f(z)$ am Entwicklungspunkt [mm] $z_0$ [/mm] eine Polstelle $n$-ter Ordnung hat, dann ist $g(z) := [mm] (z-z_0)^n\cdot [/mm] f(z)$ in einer Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] analytisch.
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