Laurent-Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Mo 26.12.2005 | | Autor: | apple81 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
hallo!
könnte mir jemand vielleicht helfen die Laurent-reihe der komplexen funktion f(z)=exp(z+ [mm] \bruch{1}{z}) [/mm] um [mm] x_{0}=0 [/mm] zu finden?
ich habe so gedacht,
f(z)=exp(z+ [mm] \bruch{1}{z})= e^{z} \*e^{\bruch{1}{z}}
[/mm]
[mm] =(\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!})(\sum_{k=0}^\infty \frac{ z^{-k}}{k!}),aber [/mm] wie geht es weiter?
danke im vorau
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Di 27.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> hallo!
> könnte mir jemand vielleicht helfen die Laurent-reihe der
> komplexen funktion f(z)=exp(z+ [mm]\bruch{1}{z})[/mm] um [mm]x_{0}=0[/mm]
> zu finden?
> ich habe so gedacht,
>
> f(z)=exp(z+ [mm]\bruch{1}{z})= e^{z} \*e^{\bruch{1}{z}}[/mm]
>
> [mm]=(\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!})(\sum_{k=0}^\infty \frac{ z^{-k}}{k!}),aber[/mm]
> wie geht es weiter?
Nun, du multiplizierst das aus. Und am besten benennst du das $k$ in der einen Summe in [mm] $\ell$ [/mm] oder so um. Wie man das ganze ausmultipliziert? Benutze das Cauchy-Produkt: Sind [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] und [mm] $\sum_{\ell=0}^\infty b_\ell$ [/mm] absolut konvergente Reihen, so ist [mm] $\left( \sum_{k=0}^\infty a_k \right) \left( \sum_{\ell=0}^\infty b_\ell \right) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=0}^k a_\ell b_{k-\ell}$. [/mm] Wenn du dann soweit bist musst du passend zusammenfassen (das nur noch ein [mm] $z^k$ [/mm] in jedem Term steht) und passend umnummerieren so, dass du was von der Form [mm] $\sum_{k=-\infty}^\infty c_k z^k$ [/mm] hast.
LG Felix
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