Lateinisches Quadrat / Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Fr 03.12.2004 | | Autor: | sebti |
Ich brauche Hilfe um diese Aufgabe zu lösen.
Die Aufgabe lautet :
Eine (n x n)-Matrix heißt
´´ Lateinisches Quadrat'' , wenn jede Zeile und Spalte jede der Zahlen
1,. . . ., n genau einmal enthält. Zu einer Gruppe (G, o) der Ordnung n, die wir mit ({1, . . . . , n}. o )
identifizieren können, betrachten wir ihre Verknüpfungstabelle, welche sich als Matrix M auffassen
lässt mit :
[mm] m_{ij} [/mm] := i o j (i, j = 1, . . . . , n) .
Zeigen Sie, dass die Verknüpfungstabelle einer jeden Gruppe ein Lateinisches Quadrat repräsentiert.
Stellt umgekehrt auch jedes Lateinische Quadrat die Verknüpfungstabelle einer endlichen Gruppe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Zur Lösung deiner Aufgabe musst du zeigen, dass in jeder Zeile und Spalte jedes Element der Gruppe genau ein Mal auftaucht. Dies kannst du leicht zeigen, indem du annimmst, es gäbe Elemente [mm] $x,a,b\in [/mm] G$ mit [mm] $x\circ a=x\circ [/mm] b$ oder [mm] $a\circ x=b\circ [/mm] x$. Dann du nun links bzw. rechtsseitig mit dem Inversen [mm] $x^{-1}\in [/mm] G$ von x verknüpfst und das Assoziativgesetz anwendest, wirst du sicher auf die Lösung kommen!
Versuch's mal!
Liebe Grüße,
Hanno
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