Laplace Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mi 17.11.2010 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | Seien [mm] $X_1, \ldots, X_n$ [/mm] unabhängig, identisch Laplace-verteilt mit Parameter [mm] $\theta [/mm] > 0$ und Dichte [mm] $f_{\theta}$, $f_{\theta}(x) [/mm] = [mm] c_{\theta}\exp(-\theta [/mm] |x|)$, wobei [mm] $c_{\theta}$ [/mm] eine geeignete Normierungskonstante ist.
a) Bestimmen sie [mm] $c_{\theta}$ [/mm] und die Verteilung von $|X|$
b) Bestimmen Sie einen Momentenschätzer [mm] $T_n$ [/mm] für [mm] $\theta$. [/mm] Ist die Folge [mm] $(T_n [/mm] : n [mm] \in \IN)$ [/mm] schwach konsistent für [mm] $\theta$?
[/mm]
c) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer [mm] $\tilde{T_n}$ [/mm] für [mm] $\theta$. [/mm] Ist die Folge [mm] $(\tilde{T_n} [/mm] : n [mm] \in \IN)$ [/mm] schwach konsistent für [mm] $\theta$? [/mm] |
Hallo zusammen,
meine Frage bezieht sich auf Aufgabenteil a)
Um die Konstante [mm] $c_{\theta}$ [/mm] zu bestimmen habe ich überlegt, dass die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion gleich 1 sein muss:
$$
1 [mm] =\int_{-\infty}^{\infty} c_{\theta} exp(-\theta \left|x\right|)dx [/mm] = 2 [mm] c_{\theta} \int_{0}^{\infty} exp(-\theta \left|x\right|)dx [/mm] = [mm] \frac{2 c_{\theta}}{\theta} \underbrace{\int_{0}^{\infty} \theta exp(-\theta \left|x\right|)dx}_{=1\text{, da Dichte der Exponentialverteilung}} \\
[/mm]
[mm] \Rightarrow c_{\theta} [/mm] = [mm] \frac{\theta}{2}
[/mm]
$$
Was ist denn hier das $X$ in a). Steht das für ein beliebiges Laplace-verteiltes $X$, da die [mm] $X_i$ [/mm] alle unabhängig identisch verteilt sind? Wie kann ich die Verteiltung bestimmen? Geht das mit dem Transformationssatz oder gibt es eine einfachere Möglichkeit?
Viele Grüße
Jakob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Mi 17.11.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Jakob
> Was ist denn hier das [mm]X[/mm] in a). Steht das für ein
> beliebiges Laplace-verteiltes [mm]X[/mm], da die [mm]X_i[/mm] alle
> unabhängig identisch verteilt sind?
Ja.
> Wie kann ich die
> Verteiltung bestimmen? Geht das mit dem Transformationssatz
> oder gibt es eine einfachere Möglichkeit?
Sei $x>0_$. Dann ist fuer die Verteilungsfunktion von $|X|_$ gegeben durch [mm] $P(|X|\le x)=P(-x\le X\le [/mm] x) = [mm] \ldots$ [/mm] Was ist fuer [mm] $x\le [/mm] 0$?
vg Luis
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