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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mo 02.01.2012 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation das Anfangswertproblem
[mm] x''+4x'+3x=8e^t, [/mm] x(0)=4, x'(0)=2 |
Hallo, also ich wollt mal fragen, ob das was ich aufgeschrieben hab, soweit richtig ist:
Laplace-Trafo anwenden:
[mm] L[x''(t)+4x'(t)+3x(t)](s)=8*L[e^t](s)
[/mm]
Die rechte Seite umformen:
[mm] 8*L[e^t](s)=\bruch{8}{s-1}
[/mm]
Also:
[mm] L[x''(t)+4x'(t)+3x(t)](s)=\bruch{8}{s-1} [/mm] oder?
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo David,
für die rechte Seite sieht das gut aus, bei der linken musst Du nun nur wissen, wie sich eine Ableitung im Zeitbereich im Laplacebereich bemerkbar macht. Da gibt es so etwas wie einen Differentiationssatz für die Originalfunktion.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mo 02.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ok also den Ableitungssatz angewendet müsste da stehen:
[mm] s^2*L[x(t)](s)-s*x(0)-x'(0)+4s*L[x(t)](s)-4*x(0)+3L[x(t)](s)=\bruch{8}{s-1}
[/mm]
und mit X(s)=L[x(t)](s):
[mm] s^2*X(s)-s*x(0)-x'(0)+4s*X(s)-4*x(0)+3X(s)=\bruch{8}{s-1}
[/mm]
Stimmt das soweit?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ok also den Ableitungssatz angewendet müsste da stehen:
>
> [mm]s^2*L[x(t)](s)-s*x(0)-x'(0)+4s*L[x(t)](s)-4*x(0)+3L[x(t)](s)=\bruch{8}{s-1}[/mm]
> und mit X(s)=L[x(t)](s):
> [mm]s^2*X(s)-s*x(0)-x'(0)+4s*X(s)-4*x(0)+3X(s)=\bruch{8}{s-1}[/mm]
> Stimmt das soweit?
Ja.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mo 02.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ok dann werden jetzt die Anfangswerte eingesetzt:
[mm] s^2*X(s)-4s-2+4s*X(s)-16+3*X(s)=\bruch{8}{s-1}
[/mm]
Umgeformt:
[mm] X(s)(s^2+4s+3)=\bruch{8}{s-1}+18+4s
[/mm]
[mm] \gdw X(s)=\bruch{8}{(s-1)(s^2+4s+3)}+\bruch{4s+18}{s^2+4s+3}
[/mm]
So jetzt wird erst einmal eine PBZ für den ersten Term durchgeführt:
[mm] \bruch{8}{(s-1)(s+1)(s+3)}=\bruch{A}{s}-\bruch{B}{s}-\bruch{C}{s}
[/mm]
Glaub die PBZ stimmt nicht :/
Gruß David
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> Ok dann werden jetzt die Anfangswerte eingesetzt:
> [mm]s^2*X(s)-4s-2+4s*X(s)-16+3*X(s)=\bruch{8}{s-1}[/mm]
> Umgeformt:
> [mm]X(s)(s^2+4s+3)=\bruch{8}{s-1}+18+4s[/mm]
> [mm]\gdw X(s)=\bruch{8}{(s-1)(s^2+4s+3)}+\bruch{4s+18}{s^2+4s+3}[/mm]
>
> So jetzt wird erst einmal eine PBZ für den ersten Term
> durchgeführt:
>
> [mm]\bruch{8}{(s-1)(s+1)(s+3)}=\bruch{A}{s}-\bruch{B}{s}-\bruch{C}{s}[/mm]
> Glaub die PBZ stimmt nicht :/
> Gruß David
hallo David,
der Ansatz für deine PBZ müste so aussehen:
[mm] $\bruch{8}{(s-1)(s+1)(s+3)}=\bruch{A}{s-1}-\bruch{B}{s+1}-\bruch{C}{s+3}$
[/mm]
vielleicht kommst du jetzt weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 02.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ja das hat mir sehr geholfen^^
Also ich hab auf beiden Seiten dann den Nenner der linken Seite mal gerechnet und zusammengefasst und die Koeffizienten verglichen und dann stand da:
1) 0=A-B-C
2) 0=4A-2B
3)8=3A+3B+C
Dann hab ich das Gleichungssystem gelöst und folgenden rausbekommen:
A=1, B=2 und C=-1
So...muss man jetzt für den zweiten Term auch ein PBZ machen? Ich glaube ja, das wär dann:
[mm] \bruch{4s+18}{(s+1)(s+3)}=\bruch{A}{s+1}+\bruch{B}{s+3} [/mm] oder?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ja das hat mir sehr geholfen^^
> Also ich hab auf beiden Seiten dann den Nenner der linken
> Seite mal gerechnet und zusammengefasst und die
> Koeffizienten verglichen und dann stand da:
> 1) 0=A-B-C
> 2) 0=4A-2B
> 3)8=3A+3B+C
> Dann hab ich das Gleichungssystem gelöst und folgenden
> rausbekommen:
> A=1, B=2 und C=-1
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So...muss man jetzt für den zweiten Term auch ein PBZ
> machen? Ich glaube ja, das wär dann:
> [mm]\bruch{4s+18}{(s+1)(s+3)}=\bruch{A}{s+1}+\bruch{B}{s+3}[/mm]
> oder?
Ja.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 02.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ok jetzt hat sich folgendes Gleichungssystem ergeben:
1) 4=A+B
2) 18=3A+B
Und daraus folgt A=7 und B=-3
Alles zusammengefasst:
[mm] X(s)=\bruch{1}{s-1}-\bruch{2}{s+1}+\bruch{1}{s+3}+\bruch{7}{s+1}-\bruch{3}{s+3}=\bruch{1}{s-1}+\bruch{5}{s+1}-\bruch{2}{s+3}
[/mm]
Also:
[mm] L[e^t+5e^{-t}-2e^{-3t}](s)
[/mm]
Und nach dem Satz von Lerch:
[mm] X(t)=e^t+5e^{-t}-2e^{-3t}
[/mm]
Damit müsste die Aufgabe gelöst sein oder? Also wenns richtig ist :D
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Di 03.01.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo David,
das sieht prima aus.
Wenn Du das Ergebnis in die DGL einsetzt, bleibt nur [mm] 8 e^t [/mm] übrig und die Anfangsbedingungen stimmen auch.
Viele Grüße,
Infinit
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