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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Do 06.01.2011 | | Autor: | physicus |
Hi
Ich habe etwas Mühe beim Verständnis der Landausymbole. Wenn ich eine Funktion$\ f $ (zweimal stetig differenzierbar) um 0 mittels Taylor entwickle bis zum Grad 2, dann erhalte ich folgendes:
[mm] f(x)=1-\bruch{t^2*x^2}{2}+o(x^2) [/mm]
Da für die Funktion $\ f $ gilt: [mm] f(0)=1,f'(0)=0,f''(0)=-t^2[/mm]. Nun zu diesem $\ [mm] o(x^2)$. [/mm] Dass bedeutet doch, folgendes:
[mm] \bruch{\summe_{i=3}^{\infty} \bruch{f^{(k)}(0)}{i!}*x^k}{x^2} \to 0 [/mm] für $\ x [mm] \to [/mm] 0 $.
Das ist aber gleich
[mm] \summe_{i=3}^{\infty} \bruch{f^{(k)}(0)}{i!}*x^{k-2} \to 0 [/mm] für $\ x [mm] \to [/mm] 0$. Nun meinen Fragen:
1. Wieso darf ich den Limes $\ x [mm] \to [/mm] 0 $ in die Summe hinein ziehen? Wenn ich dies darf, dann stimmt es sicher.
2. Man kann doch immer die Restglied bei Taylor mittels kleinem $\ o $ angeben? Oder müssen dafür spezielle Voraussetzungen gelten (wenn ja welche, warum)?
Wenn ich jetzt eine Substitution durchführe: $\ [mm] x=\sqrt{u}$, [/mm] erhalte ich ja
[mm] g(u) = 1-\bruch{t^2*u}{2}+o(u) [/mm]. Diese ist sicherlich differenzierbar als Verknüpfung von differenzierbaren Funktionen. ( $\ [mm] g(u)=f(\sqrt{x})$ [/mm] ). Ich möchte nun zeigen, dass $\ g $ rechtsseitig stetig ist in 0(genügt mir). Das sieht man sofort, wenn man eine Nullfolge nimmt und überprüft, dass $\ [mm] \limes g'(u_n) [/mm] = g'(0)$, wobei $\ [mm] (u_n)_{n \in \IN}$ [/mm] die Nullfolge ist. Aber beim Ableiten weiss ich nicht wie ich das Landausymbol behandeln soll.
Ich hoffe, dass ich meine Probleme verständlich schildern konnte.
mfg
physicus
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Hallo Physikus,
> Hi
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> Ich habe etwas Mühe beim Verständnis der Landausymbole.
> Wenn ich eine Funktion[mm]\ f[/mm] (zweimal stetig differenzierbar)
> um 0 mittels Taylor entwickle bis zum Grad 2, dann erhalte
> ich folgendes:
>
> [mm]f(x)=1-\bruch{t^2*x^2}{2}+o(x^2)[/mm]
> Da für die Funktion [mm]\ f[/mm] gilt: [mm]f(0)=1,f'(0)=0,f''(0)=-t^2[/mm].
Also wenn deine Funktion nur zweimal stetig differenzierbar ist, so kannst du nur [mm] T_1 [/mm] entwickeln und nicht bis zum Grad 2!
D.h. bei dir hätte f maximal die Form:
$f(x) = 1 + [mm] o(x^2)$
[/mm]
> Nun zu diesem [mm]\ o(x^2)[/mm]. Dass bedeutet doch, folgendes:
>
> [mm]\bruch{\summe_{i=3}^{\infty} \bruch{f^{(k)}(0)}{i!}*x^k}{x^2} \to 0[/mm]
> für [mm]\ x \to 0 [/mm].
Nein!
Es ist doch gar nicht gesichert, dass [mm] $f^{(k)}(0)$ [/mm] für k=3 (geschweige denn bis unendlich) überhaupt existiert.
Für allgemeine Restgliedformel schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Und warum diese dann [mm] $o(x^n)$ [/mm] sind wird darunter erklärt.
> Wenn ich jetzt eine Substitution durchführe: $ \ [mm] x=\sqrt{u} [/mm] $, erhalte ich ja g(u) = [mm] 1-\bruch{t^2\cdot{}u}{2}+o(u) [/mm] $. Diese ist sicherlich differenzierbar als Verknüpfung von differenzierbaren Funktionen. ( $ \ [mm] g(u)=f(\sqrt{x}) [/mm] $ )
Achso? Wäre f überall differenzierbar, bräuchtest du die Taylor-Entwicklung ja nicht machen sondern könntest sofort losdifferenzieren!
Da steht doch nichts anderes als eine andere Schreibweise von f und das ist nach Voraussetzung nur 2x differenzierbar.
MFG,
Gono.
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Huhu,
> Es geht in meienr Frage um den Beweis des zentralen
> Grenzwertsatzes. Dort wird die charakteristische Funktion [mm]\ f[/mm]
> ja durch Taylor angenähert. Da ich die Annahme mache, dass
> erstes und zweites Moment existieren ist mein [mm]\ f[/mm] zweimal
> stetig differenzierbar. Wieso kann man dann trotzdem
> dennoch f bis zum Grad 2 entwickeln? Genau dies wird ja im
> Beweis getan.
Da hast du recht, da bin ich damals auch drüber gestolpert.
Bei mir ist die Frage dann allerdings durch Prüfungsstreß untergegangen.
Ich mach mich nochmal schlau, und melde mich dann hier.
> Nachdem wir die neue Funktion g eingeführt habe, wieso
> kann ich dann sagen, dass sie rechtsseitig stetig ist?
Das brauchst du für den Beweis doch gar nicht.
Ich melde mich unter der Woche mit der Begründung 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:15 Do 13.01.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
obwohl ich erst heute dazu komme, mit meinem Prof drüber zu reden, hab ich die Lösung gerade gefunden.
Siehe dazu Königsberger Analysis 2, Seite 66.
Es ist eine direkte Folgerung aus der Taylorentwicklung, dass es bereits ausreicht, dass f n-mal stetig differenzierbar ist damit gilt:
$f(x) = [mm] T_n(f) [/mm] + [mm] o(||x||^n)$
[/mm]
Also, falls es dich interessiert, einfach nachschlagen 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:44 Do 13.01.2011 | | Autor: | physicus |
ok super, werde ich gleich tun! Ich danke dir!
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