Landau-symbol als Hochzahl < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Di 23.12.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Was ist gemeint, wenn die Landau-Symbolik als Hochzahl verwendet wird?
Z.B.: f [mm] \in e^{o(x)} [/mm] für [mm] x->\infty [/mm] |
Hallo zusammen,
Konkret geht es um die Aufgabe [mm] o(e^x)=e^{o(x)} [/mm] für [mm] x->\infty, [/mm] die zu beweisen/widerlegen ist.
Nach Voraussetzung f [mm] \in o(e^x) [/mm] d.h. [mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] R: [mm] \forall [/mm] x>R:
|f(x)| [mm] \le \epsilon |e^x|
[/mm]
Ich habe [mm] e^{o(x)} [/mm] nun folgendermaßen aufgefasst:
f [mm] \in e^{o(x)} \gdw \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] o(x) mit f(x)= [mm] e^{g(x)}
[/mm]
Dies würde log(f(x))=g(x) erfüllen.
Aber hier ist das Problem, dass ich ja nicht versichern kann, dass f(x) positiv ist oder?
Sonst muss man eben noch zeigen, dass log(f(x)) [mm] \in [/mm] o(x).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mi 24.12.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Was ist gemeint, wenn die Landau-Symbolik als Hochzahl
> verwendet wird?
> Z.B.: f [mm]\in e^{o(x)}[/mm] für [mm]x->\infty[/mm]
>
>
> Hallo zusammen,
> Konkret geht es um die Aufgabe [mm]o(e^x)=e^{o(x)}[/mm] für
> [mm]x->\infty,[/mm] die zu beweisen/widerlegen ist.
>
> Nach Voraussetzung f [mm]\in o(e^x)[/mm] d.h. [mm]\forall \epsilon>0 \exists[/mm]
> R: [mm]\forall[/mm] x>R:
> |f(x)| [mm]\le \epsilon |e^x|[/mm]
>
> Ich habe [mm]e^{o(x)}[/mm] nun folgendermaßen aufgefasst:
> f [mm]\in e^{o(x)} \gdw \exists[/mm] g [mm]\in[/mm] o(x) mit f(x)= [mm]e^{g(x)}[/mm]
Genau das meint man normalerweise damit. $o(x)$ ist ja eine Menge, und mit $h : x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] ist [mm] $e^{o(x)} [/mm] = h(o(x))$ das Bild einer Menge unter einer Funktion -- und das definiert man als [mm] $\{ h(y) \mid y \in o(x) \}$.
[/mm]
> Dies würde log(f(x))=g(x) erfüllen.
> Aber hier ist das Problem, dass ich ja nicht versichern
> kann, dass f(x) positiv ist oder?
Ja. Das geht nur, wenn $f(x) > 0$ fuer alle $x$ ist.
Es sei denn, man meint mit $f [mm] \in e^{o(x)}$, [/mm] dass es ein $g [mm] \in [/mm] o(x)$ gibt mit $|f| [mm] \le e^{g(x)}$. [/mm] Aber dazu muesste man erstmal definieren, dass man das meint 
> Sonst muss man eben noch zeigen, dass log(f(x)) [mm]\in[/mm] o(x).
Nun, wenn $f$ an manchen Stellen 0 oder negativ ist, kann man [mm] $\log [/mm] f(x)$ gar nicht bilden. Damit kannst du [mm] $\log [/mm] f(x)$ nicht anschauen.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:57 Do 25.12.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine Antwort. Wie ich das aber nun konkret am Bsp anwende, ist mir noch nicht klar.
Meine Ansätze für: [mm] o(e^x)=e^{o(x)} [/mm] für [mm] x->\infty
[/mm]
[mm] \subseteq)
[/mm]
f [mm] \in o(e^x), [/mm] d.h. [mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] R: [mm] \forall [/mm] x>R: [mm] |f(x)|\le \epsilon |e^x|
[/mm]
ZZ.: f [mm] \in e^{o(x)} [/mm] d.h. [mm] \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] o(x) mit [mm] f(x)=e^{g(x)}
[/mm]
Wenn f aber negative Werte annimmt, kann ich solch ein g gar nicht finden. Also ist die Richtung zu Widerlegen oder wie?
[mm] \supseteq)
[/mm]
f [mm] \in e^{o(x)}, [/mm] d.h. [mm] \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] o(x) mit [mm] f(x)=e^{g(x)}
[/mm]
ZZ.: f [mm] \in o(e^{x})
[/mm]
Da g [mm] \in [/mm] o(x): [mm] \forall \epsilon>0 \exists R_1>0 [/mm] : |g(x)| [mm] \le \epsilon [/mm] |x|
Da wir uns den Grenzübergang x gegen unendlich anschauen kann ich die Umgebung so wählen [mm] (R_2), [/mm] dass x größer als 0 ist. Wähle also [mm] \overline{R}=Max\{R_1,R_2\}
[/mm]
[mm] \forall \epsilon>0, \forall x>\overline{R}:|f(x)|= |e^{g(x)}|\le |e^{|g(x)|}| \le |e^{\epsilon |x|}|= \epsilon [/mm] | [mm] e^{|x|}|= \epsilon [/mm] | [mm] e^{x}|
[/mm]
=> f [mm] \in o(e^{x})
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 27.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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