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Landau-Symbole: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 Di 22.02.2011
Autor: Spalding

Aufgabe
Verständnis zu den Landau-Symbolen


Hallo,

ich habe nur eine Frage zum Verständnis der Landau-Symbole.
Was man bei dem jeweiligen Symbol zeige soll:
Sei [mm] a_{n} [/mm] eine Folge.

1.) [mm] o(b_{n}), [/mm] dann muss man zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}} [/mm] = 0 ist.

2.) [mm] O(b_{n}), [/mm] dann muss man zeigen, dass  0 < [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{b_{n}}| [/mm] < [mm] \infty [/mm]

3.) [mm] a_{n}\sim b_{n} \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}} [/mm]
ausrechnen

?

Gruß Spalding

        
Bezug
Landau-Symbole: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Di 22.02.2011
Autor: kamaleonti

Hi,
> Verständnis zu den Landau-Symbolen
>  
> Hallo,
>  
> ich habe nur eine Frage zum Verständnis der
> Landau-Symbole.
>  Was man bei dem jeweiligen Symbol zeige soll:
>  Sei [mm]a_{n}[/mm] eine Folge.
>  
> 1.) [mm]o(b_{n}),[/mm] dann muss man zeigen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}[/mm] = 0 ist.

[ok]

>  
> 2.) [mm]O(b_{n}),[/mm] dann muss man zeigen, dass  0 <
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{b_{n}}|[/mm] < [mm]\infty[/mm]

Genauer nimmst du den [mm] \lim \sup [/mm]
EDIT: Siehe zusätzlich felix Hinweis. Danke!

>  
> 3.) [mm]a_{n}\sim b_{n} \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}[/mm]

Soll das heißen [mm] a_n\in\Theta(b_n)? [/mm]
Dann wäre zu zeigen [mm] $0<\lim\inf\left|\frac{a_n}{b_n}\right|\leq\lim\sup\left|\frac{a_n}{b_n}\right|<\infty$ [/mm]

>  
> ausrechnen
>
> ?
>  
> Gruß Spalding

Siehe dazu auch []Wikipedia-Definition

Gruß


Bezug
                
Bezug
Landau-Symbole: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:28 Di 22.02.2011
Autor: Spalding


> > 3.) [mm]a_{n}\sim b_{n} \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}[/mm]
>  

danke..

das letzte soll eig nur heißen [mm] a_{n}\sim b_{n} [/mm]
aber ich weiß nicht genau was das heißen soll..
bzw wenn das bei uns da stand, dann haben wir immer den
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}} [/mm] berechnet,
nur ich wollte wissen, was mir dann das ergebnis davon sagt.

Bezug
                
Bezug
Landau-Symbole: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:35 Di 22.02.2011
Autor: felixf

Moin zusammen,

> > 2.) [mm]O(b_{n}),[/mm] dann muss man zeigen, dass  0 <
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{b_{n}}|[/mm] < [mm]\infty[/mm]
>  Genauer nimmst du den [mm]\lim \sup[/mm]

Vorsicht! Hier steht immer noch dabei, dass der Limes (superior) echt groesser als 0 sein muss! Das ist aber bei der Gross-O-Notation nicht der Fall, d.h. der Limes (superior) darf sehr wohl auch 0 sein, damit [mm] $a_n [/mm] = [mm] O(b_n)$ [/mm] gilt.

> > 3.) [mm]a_{n}\sim b_{n} \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}[/mm]
>  
> Soll das heißen [mm]a_n\in\Theta(b_n)?[/mm]
>  Dann wäre zu zeigen
> [mm]0<\lim\inf\left|\frac{a_n}{b_n}\right|\leq\lim\sup\left|\frac{a_n}{b_n}\right|<\infty[/mm]

Ich denke er meint schon [mm] $\sim$. [/mm] In dem Fall gilt aber [mm] $a_n \sim b_n \Longleftrightarrow \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} [/mm] = 1$.

(Beim [mm] $\Theta$ [/mm] ist der Grenzwert egal, hauptsache nicht 0 und endlich, aber bei [mm] $\sim$ [/mm] muss er genau 1 sein.)

(Damit laesst sich etwa der []Primzahlsatz sehr griffig als [mm] $\pi(n) \sim \frac{\log n}{n}$ [/mm] formulieren.)

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Landau-Symbole: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:37 Di 22.02.2011
Autor: Spalding

alles klar. vielen dank.
das reicht mir schon :) jetzt weiß ich was zu tun ist.
Danke!

Bezug
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