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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Extrema der Funktion:
[mm] f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}
[/mm]
Nebenbedingungen:
[mm] x_{1}+x_{2}=2
[/mm]
[mm] x_{2}+x_{3}+x_{4}=4 [/mm] |
Hallo Leute,
Ich setze die Nebenbedingungen auf Null:
[mm] g_{1}=x_{1}+x_{2}-2=0
[/mm]
[mm] g_{2}=x_{2}+x_{3}+x_{4}-4=0
[/mm]
Nun die Hilfsfunktion:
[mm] F(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\lambda_{1},\lambda_{2})=f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})+\lambda_{1}*g_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})+\lambda_{2}*g_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})
[/mm]
[mm] =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+\lambda_{1}(x_{1}+x_{2}-2)+\lambda_{2}(x_{2}+x_{3}+x_{4}-4)
[/mm]
[mm] F_{x1}=2_{x1}+\lambda_{1}=0
[/mm]
[mm] F_{x2}=2_{x2}+\lambda_{1}+\lambda_{2}=0
[/mm]
[mm] F_{x3}=2_{x3}+\lambda_{2}=0
[/mm]
[mm] F_{x4}=2_{x4}+\lambda_{2}=0
[/mm]
[mm] F_{\lambda_{1}}=x_{1}+x_{2}-2=0
[/mm]
[mm] F_{\lambda_{2}}=x_{2}+x_{3}+x_{4}-4=0
[/mm]
P= [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 4}
[/mm]
[mm] x_{1}=0,4 [/mm] ; [mm] x_{2}=1,6 [/mm] ; [mm] x_{3}=1,2 [/mm] ; [mm] x_{4}=1,2 [/mm] ; [mm] \lambda_{1}=-0,8 [/mm] ; [mm] \lambda_{2}=,2,4
[/mm]
Das müsste also heißen, dass der Punkt [mm] \vektor{0,4 \\ 1,6 \\ 1,2 \\ 1,2} [/mm] markant ist und nun auf Extrema untersucht werden müsste. Was geschieht jetzt mit dem Multiplikator und wie gehe ich nun generell weiter vor? Normalerweise müsste ich jetzt die Hessematrix bilden, da müsste ich jedoch unzählig viele Ableitungen berechnen. Danach berechne ich die Determinante und kann dann über [mm] f_{x1x2x3x4} [/mm] Aussagen über Extrema treffen. Stimmt das so?
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Hallo Owen,
> Bestimmen Sie die Extrema der Funktion:
>
> [mm]f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}[/mm]
>
> Nebenbedingungen:
> [mm]x_{1}+x_{2}=2[/mm]
> [mm]x_{2}+x_{3}+x_{4}=4[/mm]
> Hallo Leute,
> Ich setze die Nebenbedingungen auf Null:
> [mm]g_{1}=x_{1}+x_{2}-2=0[/mm]
> [mm]g_{2}=x_{2}+x_{3}+x_{4}-4=0[/mm]
>
> Nun die Hilfsfunktion:
>
> [mm]F(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\lambda_{1},\lambda_{2})=f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})+\lambda_{1}*g_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})+\lambda_{2}*g_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})[/mm]
>
> [mm]=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+\lambda_{1}(x_{1}+x_{2}-2)+\lambda_{2}(x_{2}+x_{3}+x_{4}-4)[/mm]
>
> [mm]F_{x1}=2_{x1}+\lambda_{1}=0[/mm]
> [mm]F_{x2}=2_{x2}+\lambda_{1}+\lambda_{2}=0[/mm]
> [mm]F_{x3}=2_{x3}+\lambda_{2}=0[/mm]
> [mm]F_{x4}=2_{x4}+\lambda_{2}=0[/mm]
> [mm]F_{\lambda_{1}}=x_{1}+x_{2}-2=0[/mm]
> [mm]F_{\lambda_{2}}=x_{2}+x_{3}+x_{4}-4=0[/mm]
>
> P= [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 4}[/mm]
>
> [mm]x_{1}=0,4[/mm] ; [mm]x_{2}=1,6[/mm] ; [mm]x_{3}=1,2[/mm] ; [mm]x_{4}=1,2[/mm] ;
> [mm]\lambda_{1}=-0,8[/mm] ; [mm]\lambda_{2}=,2,4[/mm]
[mm]\lambda_{1}=\red{+}0,8[/mm]
>
> Das müsste also heißen, dass der Punkt [mm]\vektor{0,4 \\ 1,6 \\ 1,2 \\ 1,2}[/mm]
> markant ist und nun auf Extrema untersucht werden müsste.
> Was geschieht jetzt mit dem Multiplikator und wie gehe ich
> nun generell weiter vor? Normalerweise müsste ich jetzt die
> Hessematrix bilden, da müsste ich jedoch unzählig viele
> Ableitungen berechnen. Danach berechne ich die Determinante
> und kann dann über [mm]f_{x1x2x3x4}[/mm] Aussagen über Extrema
> treffen. Stimmt das so?
Ja, das stimmt so,
Du kannst aber auch, aus den Nebenbedingungen 2 Variablen eliminieren und in
[mm]f\left(x_{1},x_{2},x_{3}, x_{4}\right)[/mm] einsetzen. Dann hast Du eine Funktion von nur 2 Variablen. Diese kannst Du dann auf Extrema untersuchen. Das Verfahren hier ist bekannt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo MathePower,
danke für deine Antwort. Könntest du vielleicht nochmal erläutern, welche Variablen ich aus den Nebenbedingungen eleminieren kann, btw. wie ich das in diesem Fall machen muss. Weil ich sehe es momentan nicht.
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Hallo Owen,
> s.oben
> Hallo MathePower,
> danke für deine Antwort. Könntest du vielleicht nochmal
> erläutern, welche Variablen ich aus den Nebenbedingungen
> eleminieren kann, btw. wie ich das in diesem Fall machen
> muss. Weil ich sehe es momentan nicht.
Löse die Nebenbedingungen
[mm]x_{1}+x_{2}=2[/mm]
[mm]x_{2}+x_{3}+x_{4}=4[/mm]
nach [mm]x_{1}, \ x_{2}[/mm] auf.
[mm] \Rightarrow x_{1}= \ \dots \ , \ x_{2}=\ \dots \ [/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Owen |
Achso, alles klar, vielen Dank
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