Lagrangefunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 So 31.01.2016 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgendes Maximierungsproblem:
[mm] \max_{x,y} [/mm] f(x,y)
u.d.N. 2x + 3y = 5
und nehmen Sie an, dass (x*, y*, [mm] \lambda [/mm] *) ein stationärer Punkt ist. Welche Aussage ist richtig?
a) wenn f(x,y) konvex ist, dann hat dieses Problem eine Lösung.
b) die Funktion f(x,y) besitzt im Punkt (x*, y*) einen stationären Punkt.
c) wenn dieses Problem eine Lösung hat, dann besitzt die Funktion f(x,y) (ohne der Nebenbedingung) auch ein Maximum.
d) wenn die Funktion f(x,y) konkav ist und einen stationären Punkt hat, dann besitzt sie ein Maximum. |
Hallo,
die Lagrangefunktion lautet:
L = f(x,y) - [mm] \lambda(2x+3y-5)
[/mm]
Auffällig ist, dass die Nebenbedindung linear ist. D.h. die Nebenbedingung spielt bei den zweiten Ableitungen [mm] L_{xx} [/mm] , [mm] L_{xy} [/mm] , [mm] L_{yy} [/mm] keine Rolle. Sie sind identisch zu [mm] f_{xx} [/mm] , [mm] f_{xy} [/mm] , [mm] f_{yy}. [/mm] Folglich: Wenn f(x,y) konkav ist, ist auch L(x,y, [mm] \lambda) [/mm] konkav. Genauso bei konvex.
zu a): Falsch. Wenn f(x,y) konvex ist, dann ist der stationäre Punkt ein Minimum.
zu b): Falsch. Die Lagrangefunktion besitzt im Punkt (x*, y*, [mm] \lambda [/mm] *) einen stationären Punkt.
zu c): Falsch. Die Funktion f(x,y) besitzt unter der Nebenbedingung ein Maximum. Kann man auch sagen, dass die Lagrangefunktion ein Maximum besitzt?
Übrigens: Um den Funktionswert des Maximums zu ermitteln, setzt man (x*,y*) in f(x,y) oder (x*, y*, [mm] \lambda*) [/mm] in [mm] L(x,y,\lambda) [/mm] ein? Oder kommt in beidem dasselbe raus?
zu d): Richtig. Ist es überhaupt relevant, dass f(x,y) einen stationären Punkt hat? Es ist doch nur wichtig, dass die Lagrangefunktion einen stationären Punkt hat oder?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Di 02.02.2016 | | Autor: | meili |
Hallo Mathics,
> Betrachten Sie folgendes Maximierungsproblem:
>
> [mm]\max_{x,y}[/mm] f(x,y)
>
> u.d.N. 2x + 3y = 5
>
> und nehmen Sie an, dass (x*, y*, [mm]\lambda[/mm] *) ein
> stationärer Punkt ist. Welche Aussage ist richtig?
>
> a) wenn f(x,y) konvex ist, dann hat dieses Problem eine
> Lösung.
> b) die Funktion f(x,y) besitzt im Punkt (x*, y*) einen
> stationären Punkt.
> c) wenn dieses Problem eine Lösung hat, dann besitzt die
> Funktion f(x,y) (ohne der Nebenbedingung) auch ein
> Maximum.
> d) wenn die Funktion f(x,y) konkav ist und einen
> stationären Punkt hat, dann besitzt sie ein Maximum.
> Hallo,
>
> die Lagrangefunktion lautet:
>
> L = f(x,y) - [mm]\lambda(2x+3y-5)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Auffällig ist, dass die Nebenbedindung linear ist. D.h.
> die Nebenbedingung spielt bei den zweiten Ableitungen
> [mm]L_{xx}[/mm] , [mm]L_{xy}[/mm] , [mm]L_{yy}[/mm] keine Rolle. Sie sind identisch zu
> [mm]f_{xx}[/mm] , [mm]f_{xy}[/mm] , [mm]f_{yy}.[/mm] Folglich: Wenn
> f(x,y) konkav ist,
> ist auch L(x,y, [mm]\lambda)[/mm] konkav. Genauso bei konvex.
Musst du dazu nicht auch noch [mm] L_{x \lambda}$, $L_{y \lambda}$, $L_{\lambda \lambda}$ [/mm] betrachten?
>
> zu a): Falsch. Wenn f(x,y) konvex ist, dann ist der
> stationäre Punkt ein Minimum.
>
> zu b): Falsch. Die Lagrangefunktion besitzt im Punkt (x*,
> y*, [mm]\lambda[/mm] *) einen stationären Punkt.
>
> zu c): Falsch. Die Funktion f(x,y) besitzt unter der
> Nebenbedingung ein Maximum. Kann man auch sagen, dass die
> Lagrangefunktion ein Maximum besitzt?
Ja.
>
> Übrigens: Um den Funktionswert des Maximums zu ermitteln,
> setzt man (x*,y*) in f(x,y) oder (x*, y*, [mm]\lambda*)[/mm] in
> [mm]L(x,y,\lambda)[/mm] ein? Oder kommt in beidem dasselbe raus?
Um den Funktionswert des Maximums unter der Nebenbdingung zu ermitteln,
setzt man (x*,y*) in f(x,y) ein.
Es wäre Zufall, wenn das gleiche raus kommt.
>
> zu d): Richtig. Ist es überhaupt relevant, dass f(x,y)
> einen stationären Punkt hat? Es ist doch nur wichtig, dass
> die Lagrangefunktion einen stationären Punkt hat oder?
Bei d) steht nichts von Nebenbedingung. Wenn es nur um ein Maximum
von f(x,y) geht, ist d) richtig und der stationäre Punkt von f ist notwendig.
>
>
> LG
> Mathics
Gruß
meili
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:43 Di 02.02.2016 | | Autor: | Mathics |
Hallo,
> > Wenn f(x,y) konkav ist,
> > ist auch L(x,y, [mm]\lambda)[/mm] konkav. Genauso bei konvex.
> Musst du dazu nicht auch noch [mm]L_{x \lambda}$, $L_{y \lambda}$, $L_{\lambda \lambda}$[/mm]
> betrachten?
Nein, da wir ja die Hesse-Matrix der Lagrangefunktion untersuchen und die ist ja definiert als
[mm] \pmat{ L_{xx} & L_{xy} \\ L_{yx} & L_{yy} }
[/mm]
> > zu d): Richtig. Ist es überhaupt relevant, dass f(x,y)
> > einen stationären Punkt hat? Es ist doch nur wichtig, dass
> > die Lagrangefunktion einen stationären Punkt hat oder?
> Bei d) steht nichts von Nebenbedingung. Wenn es nur um ein
> Maximum
> von f(x,y) geht, ist d) richtig und der stationäre Punkt
> von f ist notwendig.
Aber alle Aussagen inkl. d) beziehen sich doch auf die Funktion unter der Nebenbedingung:
[mm] \max_{x,y} [/mm] f(x,y)
u.d.N. 2x + 3y = 5
Und es ist doch nur wichtig, dass die Lagrangefunktion einen stationären Punkt hat, oder? Oder gibt es einen Zusammenhang, der sagt, dass wenn f(x,y) keinen stationären Punkt hat, kann auch L(x,y, [mm] \lambda) [/mm] keinen stationären Punkt haben?
LG
Mathics
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 04.02.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Do 04.02.2016 | | Autor: | Mathics |
Ich würde gerne die Fälligkeit für diese Frage verlängern :)
Kann mir eventuell jemand bei dieser Frage helfen?
LG
Mathics
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