Lagrange Multiplikatoren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme das Minimum und das Maximum der Funktion $f(x,y) = [mm] xy-2y^{2}$ [/mm] auf dem Bereich $D [mm] \subset \IR^{2}$.
[/mm]
$D = [mm] \{(x,y):x^{2}+y^{2} \le 1}$
[/mm]
Skizziere den Verlauf der Niveaulinien von $f$ in $D$.
Hinweis: Verwende die Methode der Lagrange Multiplikatoren um die Extrema, die am Rand von D liegen, zu finden. Welcher Bezug besteht zu den Eigenvektoren bei der Hauptachsentransformation für die quadratische Form von $f$? |
Hallo,
ich habs mal folgendermaßen probiert:
$f(x,y) = [mm] xy-2y^{2}$
[/mm]
$g(x,y) = [mm] x^{2}+y^{2}-1$
[/mm]
Zuerst mal folgende Funktion aufgestellt:
[mm] $F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda [/mm] g(x,y)$
Dann die Gradienten gebildet:
[mm] $F_x [/mm] = [mm] y+\lambda [/mm] 2x = 0$
[mm] $F_y [/mm] = [mm] x-4y+\lambda [/mm] 2y = 0$
[mm] $F_\lambda [/mm] = [mm] x^{2}+y^{2}-1 [/mm] = 0$
Aus diesem Gleichungssystem bekomm ich dann folgende Werte:
[mm] \lambda_1 [/mm] = 2.118 x = [mm] \pm [/mm] 0.22975 [mm] y=\pm [/mm] 0.97325
[mm] \lambda_2 [/mm] =-0.118 x = [mm] \pm [/mm] 0.97325 [mm] y=\pm [/mm] 0.22975
Stimmt das?
Wie kann ich nun bestimmen welche Punkte die Minima und welche die Maxima sind?
Sind das nun alle Extrema die in der Aufgabe gerfordert sind?
Was ist gemeint mit "Welcher Bezug besteht zu den Eigenvektoren bei der Hauptachsentransformation für die quadratische Form von $f$" ?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Bestimme das Minimum und das Maximum der Funktion [mm]f(x,y) = xy-2y^{2}[/mm]
> auf dem Bereich [mm]D \subset \IR^{2}[/mm].
>
> [mm]D = \{(x,y):x^{2}+y^{2} \le 1}[/mm]
>
> Skizziere den Verlauf der Niveaulinien von [mm]f[/mm] in [mm]D[/mm].
>
> Hinweis: Verwende die Methode der Lagrange Multiplikatoren
> um die Extrema, die am Rand von D liegen, zu finden.
> Welcher Bezug besteht zu den Eigenvektoren bei der
> Hauptachsentransformation für die quadratische Form von
> [mm]f[/mm]?
> Hallo,
> ich habs mal folgendermaßen probiert:
>
> [mm]f(x,y) = xy-2y^{2}[/mm]
> [mm]g(x,y) = x^{2}+y^{2}-1[/mm]
>
> Zuerst mal folgende Funktion aufgestellt:
> [mm]F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)[/mm]
>
> Dann die Gradienten gebildet:
>
> [mm]F_x = y+\lambda 2x = 0[/mm]
> [mm]F_y = x-4y+\lambda 2y = 0[/mm]
>
> [mm]F_\lambda = x^{2}+y^{2}-1 = 0[/mm]
>
> Aus diesem Gleichungssystem bekomm ich dann folgende
> Werte:
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 2.118 x = [mm]\pm[/mm] 0.22975 [mm]y=\pm[/mm]
> 0.97325
Hier muss es doch lauten:
[mm]\lambda_1[/mm] = 2.118 x = [mm]\pm[/mm] 0.22975 [mm]y= \blue {\mp}[/mm] 0.97325
> [mm]\lambda_2[/mm] =-0.118 x = [mm]\pm[/mm] 0.97325 [mm]y=\pm[/mm]
> 0.22975
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Stimmt das?
> Wie kann ich nun bestimmen welche Punkte die Minima und
> welche die Maxima sind?
Am besten setzt Du die gefunden Punkt in f ein.
> Sind das nun alle Extrema die in der Aufgabe gerfordert
> sind?
Das sind zunächst die Extrema auf dem Rand.
>
> Was ist gemeint mit "Welcher Bezug besteht zu den
> Eigenvektoren bei der Hauptachsentransformation für die
> quadratische Form von [mm]f[/mm]" ?
Berechne zunächst diese Eigenvektoren.
>
> Lg
>
Gruss
MathePower
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Danke MathePower!
> > Bestimme das Minimum und das Maximum der Funktion [mm]f(x,y) = xy-2y^{2}[/mm]
> > auf dem Bereich [mm]D \subset \IR^{2}[/mm].
> >
> > [mm]D = \{(x,y):x^{2}+y^{2} \le 1}[/mm]
> >
> > Skizziere den Verlauf der Niveaulinien von [mm]f[/mm] in [mm]D[/mm].
> >
> > Hinweis: Verwende die Methode der Lagrange Multiplikatoren
> > um die Extrema, die am Rand von D liegen, zu finden.
> > Welcher Bezug besteht zu den Eigenvektoren bei der
> > Hauptachsentransformation für die quadratische Form von
> > [mm]f[/mm]?
> > Hallo,
> > ich habs mal folgendermaßen probiert:
> >
> > [mm]f(x,y) = xy-2y^{2}[/mm]
> > [mm]g(x,y) = x^{2}+y^{2}-1[/mm]
> >
> > Zuerst mal folgende Funktion aufgestellt:
> > [mm]F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)[/mm]
> >
> > Dann die Gradienten gebildet:
> >
> > [mm]F_x = y+\lambda 2x = 0[/mm]
> > [mm]F_y = x-4y+\lambda 2y = 0[/mm]
> >
> > [mm]F_\lambda = x^{2}+y^{2}-1 = 0[/mm]
> >
> > Aus diesem Gleichungssystem bekomm ich dann folgende
> > Werte:
> >
> > [mm]\lambda_1[/mm] = 2.118 x = [mm]\pm[/mm] 0.22975 [mm]y=\pm[/mm]
> > 0.97325
>
>
> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 2.118 x = [mm]\pm[/mm] 0.22975 [mm]y= \blue {\mp}[/mm]
> 0.97325
>
Wieso?
Ich habs folgendermaßen gerechnet:
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \bruch{8+\wurzel{80}}{8}
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] hab ich in [mm] $F_x$ [/mm] eingesetzt um mir [mm] $y_1$ [/mm] auszudrücken:
[mm] $y_1 [/mm] = [mm] \bruch{-16x-\wurzel{320}x}{8}$
[/mm]
[mm] $y_1$ [/mm] hab ich nun in [mm] $F_\lambda$ [/mm] eingesetzt:
[mm] $x^{2} [/mm] + [mm] (\bruch{-16x-\wurzel{320}x}{8})^{2} [/mm] -1 = 0$
[mm] \rightarrow $10+\bruch{wurzel{320}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^{2}}$
[/mm]
[mm] \rightarrow $x^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{\wurzel{320}}{2}+10}$
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] $x = [mm] \pm \wurzel{\bruch{2}{\wurzel{320}+20}}$
[/mm]
Positives $x$ hab ich nun in [mm] $F_\lambda$ [/mm] eingesetzt:
[mm] $F_\lambda$=x^{2}+y^{2}-1=0$
[/mm]
[mm] $(\wurzel{\bruch{2}{\wurzel{320}+20}})^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 1=0$
[mm] $\bruch{2}{\wurzel{320}+20} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 1=0$
[mm] $y^{2}=-\bruch{2}{\wurzel{320}+20} [/mm] + 1$
[mm] $y=\pm \wurzel{-\bruch{2}{\wurzel{320}+20} + 1}$
[/mm]
wo liegt der Hund begraben?
>
> > [mm]\lambda_2[/mm] =-0.118 x = [mm]\pm[/mm] 0.97325 [mm]y=\pm[/mm]
> > 0.22975
> >
>
>
>
>
>
> >
> > Stimmt das?
> > Wie kann ich nun bestimmen welche Punkte die Minima und
> > welche die Maxima sind?
>
>
> Am besten setzt Du die gefunden Punkt in f ein.
>
Gut hab ich gemacht. Da bekomm ich die jeweiligen Werte von [mm] \lambda [/mm] mit vertauschtem Vorzeichen raus. Geben diese Ergebnisse Auskunft darüber ob es sich um Minima bzw um Maxima handelt?
Wenn der Wert $<0$ [mm] \to [/mm] Maximum und für Wert $>0$ [mm] \to [/mm] Minimum?
>
> > Sind das nun alle Extrema die in der Aufgabe gerfordert
> > sind?
>
>
> Das sind zunächst die Extrema auf dem Rand.
>
Muss ich, um die "inneren" Extrema berechnen zu können, die Nebenbedingung nach x oder y auflösen, diesen Ausdruck in die Funktion $f$ einsetzen, $f$ ableiten und 0 setzen?
>
> >
> > Was ist gemeint mit "Welcher Bezug besteht zu den
> > Eigenvektoren bei der Hauptachsentransformation für die
> > quadratische Form von [mm]f[/mm]" ?
>
>
> Berechne zunächst diese Eigenvektoren.
>
Das heißt, die Funktion $f$ als Matrix anschreiben also:
[mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 2 & -2 }
[/mm]
Die Eigenwerte berechnen und damit dann die Eigenvektoren?
Lg
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> > Hier muss es doch lauten:
> >
> > [mm]\lambda_1[/mm] = 2.118 x = [mm]\pm[/mm] 0.22975 [mm]y= \blue {\mp}[/mm]
> > 0.97325
> >
>
> Wieso?
> Ich habs folgendermaßen gerechnet:
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\bruch{8+\wurzel{80}}{8}[/mm]
>
> [mm]\lambda_1[/mm] hab ich in [mm]F_x[/mm] eingesetzt um mir [mm]y_1[/mm]
> auszudrücken:
> [mm]y_1 = \bruch{-16x-\wurzel{320}x}{8}[/mm]
Hallo,
hier siehst Du bereits, daß zu einem pos. [mm] x_1 [/mm] ein negatives [mm] y_1 [/mm] gehören wird.
Die y-Werte, die Du zu [mm] x_1 [/mm] berechnet hast, sind mögliche zugehörige y-Werte. Du mußt aber bedenken, daß der Punkt [mm] (x_1, y_1) [/mm] das komplette Gleichungssystem lösen muß und nicht nur eine oder zwei Gleichungen.
> > > Wie kann ich nun bestimmen welche Punkte die Minima
> und
> > > welche die Maxima sind?
> >
> >
> > Am besten setzt Du die gefunden Punkt in f ein.
> >
>
> Gut hab ich gemacht. Da bekomm ich die jeweiligen Werte von
> [mm]\lambda[/mm] mit vertauschtem Vorzeichen raus. Geben diese
> Ergebnisse Auskunft darüber ob es sich um Minima bzw um
> Maxima handelt?
Ja.
Aus gewissen Gründen kann man sich sicher sein, daß es auf dem Rand ein Maximum und ein Minimum gibt. Du hast nun zwei Punkte zur Auswahl. Von denen muß einer das Max und einer das Min sein.
Und das Max ist wohl der mit dem größeren Funktionswert...
> Wenn der Wert [mm]<0[/mm] [mm]\to[/mm] Maximum und für Wert [mm]>0[/mm] [mm]\to[/mm] Minimum?
>
> >
> > > Sind das nun alle Extrema die in der Aufgabe gerfordert
> > > sind?
> >
> >
> > Das sind zunächst die Extrema auf dem Rand.
> >
>
> Muss ich, um die "inneren" Extrema berechnen zu können,
> die Nebenbedingung nach x oder y auflösen, diesen Ausdruck
> in die Funktion [mm]f[/mm] einsetzen, [mm]f[/mm] ableiten und 0 setzen?
Es sind nun noch gesucht die Extrema über dem Inneren des Kreises.
Mache eine normale Extremwertberechnung und guck dann, welche der errechneten Punkte auf Deiner kreisscheibe liegen.
>
> >
> > >
> > > Was ist gemeint mit "Welcher Bezug besteht zu den
> > > Eigenvektoren bei der Hauptachsentransformation für die
> > > quadratische Form von [mm]f[/mm]" ?
> >
> >
> > Berechne zunächst diese Eigenvektoren.
> >
>
> Das heißt, die Funktion [mm]f[/mm] als Matrix anschreiben also:
> [mm]\pmat{ 0 & 2 \\
2 & -2 }[/mm]
Die komplette Funktion ist das aber sicher nicht.
Du sollst f(x,y) schreiben als [mm] f(x,y)=(x,y)*Matrix*\vektor{x\\y}.
[/mm]
>
> Die Eigenwerte berechnen und damit dann die Eigenvektoren?
Ja. Aber von der richtigen Matrix.
Gruß v. Angela
>
> Lg
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> > >
> > > > Sind das nun alle Extrema die in der Aufgabe gerfordert
> > > > sind?
> > >
> > >
> > > Das sind zunächst die Extrema auf dem Rand.
> > >
> >
> > Muss ich, um die "inneren" Extrema berechnen zu können,
> > die Nebenbedingung nach x oder y auflösen, diesen Ausdruck
> > in die Funktion [mm]f[/mm] einsetzen, [mm]f[/mm] ableiten und 0 setzen?
>
> Es sind nun noch gesucht die Extrema über dem Inneren des
> Kreises.
> Mache eine normale Extremwertberechnung und guck dann,
> welche der errechneten Punkte auf Deiner kreisscheibe
> liegen.
>
Hallo und danke für deine Antwort!
Hab jetzt über die normale Extremwertberechnung folgende Extremwerte herausebekommen:
[mm] $y_1 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 0.97325$
[mm] $y_2 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 0.22975$
Das bedeutet nun, dass alle errechneten Punkte auf der Kreisscheibe liegen oder?
> >
> > >
> > > >
> > > > Was ist gemeint mit "Welcher Bezug besteht zu den
> > > > Eigenvektoren bei der Hauptachsentransformation für die
> > > > quadratische Form von [mm]f[/mm]" ?
> > >
> > >
> > > Berechne zunächst diese Eigenvektoren.
> > >
> >
> > Das heißt, die Funktion [mm]f[/mm] als Matrix anschreiben also:
> > [mm]\pmat{ 0 & 2 \\
2 & -2 }[/mm]
>
> Die komplette Funktion ist das aber sicher nicht.
>
> Du sollst f(x,y) schreiben als
> [mm]f(x,y)=(x,y)*Matrix*\vektor{x\\y}.[/mm]
Soll ich dazu, die Funktion auf ein vollständiges Quadrat ergänzen?
Lg
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> > >
> > > >
> > > > > Sind das nun alle Extrema die in der Aufgabe gerfordert
> > > > > sind?
> > > >
> > > >
> > > > Das sind zunächst die Extrema auf dem Rand.
> > > >
> > >
> > > Muss ich, um die "inneren" Extrema berechnen zu können,
> > > die Nebenbedingung nach x oder y auflösen, diesen Ausdruck
> > > in die Funktion [mm]f[/mm] einsetzen, [mm]f[/mm] ableiten und 0 setzen?
> >
> > Es sind nun noch gesucht die Extrema über dem Inneren des
> > Kreises.
> > Mache eine normale Extremwertberechnung und guck dann,
> > welche der errechneten Punkte auf Deiner kreisscheibe
> > liegen.
> >
>
> Hallo und danke für deine Antwort!
> Hab jetzt über die normale Extremwertberechnung folgende
> Extremwerte herausebekommen:
> [mm]y_1 = \pm 0.97325[/mm]
> [mm]y_2 = \pm 0.22975[/mm]
Hallo,
erstens mal fehlen die zugehörigen x-Werte.
Und dann wundere ich mich etwas über das Ergebnis. Ich denke nicht, daß die Funktion f über [mm] \IR^2 [/mm] oder meinetwegen über der Kreisscheibe 4 Extremwerte hat.
Genaueres kann man nur sagen, wenn man sieht, was Du tust.
> Das bedeutet nun, dass alle errechneten Punkte auf der
> Kreisscheibe liegen oder?
>
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Was ist gemeint mit "Welcher Bezug besteht zu den
> > > > > Eigenvektoren bei der Hauptachsentransformation für die
> > > > > quadratische Form von [mm]f[/mm]" ?
> > > >
> > > >
> > > > Berechne zunächst diese Eigenvektoren.
> > > >
> > >
> > > Das heißt, die Funktion [mm]f[/mm] als Matrix anschreiben also:
> > > [mm]\pmat{ 0 & 2 \\
2 & -2 }[/mm]
> >
> > Die komplette Funktion ist das aber sicher nicht.
> >
> > Du sollst f(x,y) schreiben als
> > [mm]f(x,y)=(x,y)*Matrix*\vektor{x\\
y}.[/mm]
>
> Soll ich dazu, die Funktion auf ein vollständiges Quadrat
> ergänzen?
Was meinst Du damit?
Du sollst [mm] xy-2y^2 [/mm] so schreiben, wie ich oben gesagt habe. Mit einer Matrix.
Gruß v. Angela
>
>
> Lg
>
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> Hallo,
>
> erstens mal fehlen die zugehörigen x-Werte.
>
> Und dann wundere ich mich etwas über das Ergebnis. Ich
> denke nicht, daß die Funktion f über [mm]\IR^2[/mm] oder
> meinetwegen über der Kreisscheibe 4 Extremwerte hat.
>
> Genaueres kann man nur sagen, wenn man sieht, was Du tust.
Also ich habe die Funktionen:
$f(x,y) = [mm] xy-2y^2=0$ [/mm] und
[mm] $g(x,y)=x²+y^2-1=0$
[/mm]
Aus der Nebenbedingung $g$ hab ich mir x ausgedrückt:
[mm] $x=\wurzel{1-y^2}$
[/mm]
Das hab ich in $f$ eingestzt:
[mm] $f(\wurzel{1-y^2},y)=\wurzel{1-y^2}y-2y^{2}$
[/mm]
Davon hab ich dann die 1. Ableitung gebildet und nullgesetzt:
[mm] $f^{(1)}=\bruch{-y^2}{\wurzel{1-y^2}}+\wurzel{1-y^2}-4y=0$
[/mm]
Das umgeformt gibt:
[mm] $20y^4-20y^2+1=0$
[/mm]
Substitution: [mm] $z=y^2$
[/mm]
Somit hab ich:
[mm] $20z^2-20z+1=0$
[/mm]
Aufgelöst ergibt das:
[mm] $z_1 [/mm] = [mm] 0.5+\wurzel{0.2}$
[/mm]
[mm] $z_2 [/mm] = [mm] 0.5-\wurzel{0.2}$
[/mm]
Rücksubstituiert:
[mm] $y_1=\pm \wurzel{0.5+\wurzel{0.2}}$
[/mm]
[mm] $y_2=\pm \wurzel{0.5-\wurzel{0.2}}$
[/mm]
Um die zugehörigen x-Werte zu bekommen, setze ich das nun in $f$ oder in $g$ ein? Ich denke doch eher $f$ oder?
>
> > Das bedeutet nun, dass alle errechneten Punkte auf der
> > Kreisscheibe liegen oder?
> >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Was ist gemeint mit "Welcher Bezug besteht zu den
> > > > > > Eigenvektoren bei der Hauptachsentransformation für die
> > > > > > quadratische Form von [mm]f[/mm]" ?
> > > > >
> > > > >
> > > > > Berechne zunächst diese Eigenvektoren.
> > > > >
> > > >
> > > > Das heißt, die Funktion [mm]f[/mm] als Matrix anschreiben also:
> > > > [mm]\pmat{ 0 & 2 \\
2 & -2 }[/mm]
> > >
> > > Die komplette Funktion ist das aber sicher nicht.
> > >
> > > Du sollst f(x,y) schreiben als
> > > [mm]f(x,y)=(x,y)*Matrix*\vektor{x\\
y}.[/mm]
> >
> > Soll ich dazu, die Funktion auf ein vollständiges Quadrat
> > ergänzen?
>
> Was meinst Du damit?
>
> Du sollst [mm]xy-2y^2[/mm] so schreiben, wie ich oben gesagt habe.
> Mit einer Matrix.
Das check ich wohl nicht. So wie du es geschrieben hast, komm ich ja von einer Matrix auf die quadratische Form. Die quadratische Form [mm] $xy-2y^2$ [/mm] hab ich ja schon gegeben. [mm] $xy-2y^2$ [/mm] ist ja gleichbedeutend mit [mm] $0x^2 [/mm] + [mm] 1xy-2y^2$.
[/mm]
Somit wäre doch die Matrix [mm] \pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & 2 }.
[/mm]
Was fehlt denn noch?
Lg
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> > Hallo,
> >
> > erstens mal fehlen die zugehörigen x-Werte.
> >
> > Und dann wundere ich mich etwas über das Ergebnis. Ich
> > denke nicht, daß die Funktion f über [mm]\IR^2[/mm] oder
> > meinetwegen über der Kreisscheibe 4 Extremwerte hat.
> >
> > Genaueres kann man nur sagen, wenn man sieht, was Du tust.
>
> Also ich habe die Funktionen:
> [mm]f(x,y) = xy-2y^2=0[/mm] und
> [mm]g(x,y)=x^2+y^2-1=0\integral_{a}^{b}{f(x) dx}\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
> Aus der Nebenbedingung [mm]g[/mm] hab ich mir x ausgedrückt:
> [mm]x=\wurzel{1-y^2}[/mm]
> Das hab ich in [mm]f[/mm] eingestzt:
Hallo,
wofür denn das?
Den Rand hast Du doch mit der Lagrange-Methode schon untersucht.
Es ist jetzt f(x,y) über ganz [mm] \IR [/mm] zu untersuchen, und dann guckst Du, welche der ggf. erhaltenen Extremstellen auf der Kreisscheibe liegen.
> > > > > > > Was ist gemeint mit "Welcher Bezug besteht zu den
> > > > > > > Eigenvektoren bei der Hauptachsentransformation für die
> > > > > > > quadratische Form von [mm]f[/mm]" ?
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Berechne zunächst diese Eigenvektoren.
> > > > > >
> > > > >
> > > > > Das heißt, die Funktion [mm]f[/mm] als Matrix anschreiben also:
> > > > > [mm]\pmat{ 0 & 2 \\
2 & -2 }[/mm]
> > > >
> > > > Die komplette Funktion ist das aber sicher nicht.
> > > >
> > > > Du sollst f(x,y) schreiben als
> > > > [mm]f(x,y)=(x,y)*Matrix*\vektor{x\\
y}.[/mm]
> > >
> > > Soll ich dazu, die Funktion auf ein vollständiges Quadrat
> > > ergänzen?
> >
> > Was meinst Du damit?
> >
> > Du sollst [mm]xy-2y^2[/mm] so schreiben, wie ich oben gesagt habe.
> > Mit einer Matrix.
>
> Das check ich wohl nicht. So wie du es geschrieben hast,
> komm ich ja von einer Matrix auf die quadratische Form. Die
> quadratische Form [mm]xy-2y^2[/mm] hab ich ja schon gegeben. [mm]xy-2y^2[/mm]
> ist ja gleichbedeutend mit [mm]0x^2 + 1xy-2y^2[/mm].
>
> Somit wäre doch die Matrix [mm]\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\
\bruch{1}{2} & 2 }.[/mm]
Ja.
>
> Was fehlt denn noch?
Die Eigenwerte und Eigenvektoren.
Gruß v. Angela
>
> Lg
>
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> > > Hallo,
> > >
> > > erstens mal fehlen die zugehörigen x-Werte.
> > >
> > > Und dann wundere ich mich etwas über das Ergebnis. Ich
> > > denke nicht, daß die Funktion f über [mm]\IR^2[/mm] oder
> > > meinetwegen über der Kreisscheibe 4 Extremwerte hat.
> > >
> > > Genaueres kann man nur sagen, wenn man sieht, was Du tust.
> >
> > Also ich habe die Funktionen:
> > [mm]f(x,y) = xy-2y^2=0[/mm] und
> > [mm]g(x,y)=x^2+y^2-1=0\integral_{a}^{b}{f(x) dx}\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
> >
> > Aus der Nebenbedingung [mm]g[/mm] hab ich mir x ausgedrückt:
> > [mm]x=\wurzel{1-y^2}[/mm]
> > Das hab ich in [mm]f[/mm] eingestzt:
>
> Hallo,
>
> wofür denn das?
> Den Rand hast Du doch mit der Lagrange-Methode schon
> untersucht.
>
> Es ist jetzt f(x,y) über ganz [mm]\IR[/mm] zu untersuchen, und dann
> guckst Du, welche der ggf. erhaltenen Extremstellen auf der
> Kreisscheibe liegen.
>
Also, um die Extremstellen zu bestimmen setze ich doch einfach den gradienten von $f$ = 0 und löse das Gleichungssystem:
[mm] $f(x,y)=xy-2y^2$
[/mm]
[mm] $f_x=y=0$
[/mm]
[mm] $f_y=x-4y=0$
[/mm]
Somit bekomm ich als Lösung $(x,y)=(0,0)$
Das bedeutet doch, dass keine Extremstellen vorhanden sind oder?
>
>
> > > > > > > > Was ist gemeint mit "Welcher Bezug besteht zu den
> > > > > > > > Eigenvektoren bei der Hauptachsentransformation für die
> > > > > > > > quadratische Form von [mm]f[/mm]" ?
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Berechne zunächst diese Eigenvektoren.
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Das heißt, die Funktion [mm]f[/mm] als Matrix anschreiben also:
> > > > > > [mm]\pmat{ 0 & 2 \\
2 & -2 }[/mm]
> > > > >
> > > > > Die komplette Funktion ist das aber sicher nicht.
> > > > >
> > > > > Du sollst f(x,y) schreiben als
> > > > > [mm]f(x,y)=(x,y)*Matrix*\vektor{x\\
y}.[/mm]
> > > >
> > > > Soll ich dazu, die Funktion auf ein vollständiges Quadrat
> > > > ergänzen?
> > >
> > > Was meinst Du damit?
> > >
> > > Du sollst [mm]xy-2y^2[/mm] so schreiben, wie ich oben gesagt habe.
> > > Mit einer Matrix.
> >
> > Das check ich wohl nicht. So wie du es geschrieben hast,
> > komm ich ja von einer Matrix auf die quadratische Form. Die
> > quadratische Form [mm]xy-2y^2[/mm] hab ich ja schon gegeben. [mm]xy-2y^2[/mm]
> > ist ja gleichbedeutend mit [mm]0x^2 + 1xy-2y^2[/mm].
> >
> > Somit wäre doch die Matrix [mm]\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\
\bruch{1}{2} & 2 }.[/mm]
>
Sehe gerade das ein kleiner Vorzeichenfehler in der Matrix ist, so sollte sie aussehen:
[mm] \pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & -2 }
[/mm]
Die Eigenwerte dazu:
[mm] \lambda_1 [/mm] = 0
[mm] \lambda_2 [/mm] = -2
Und die Eigenvektoren zu den Eigenwerten:
[mm] \lambda_1 [/mm] = 0 [mm] \rightarrow \vec{v}= \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = -2 [mm] \rightarrow \vec{v}= \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Stimmt das so?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > erstens mal fehlen die zugehörigen x-Werte.
> > > >
> > > > Und dann wundere ich mich etwas über das Ergebnis. Ich
> > > > denke nicht, daß die Funktion f über [mm]\IR^2[/mm] oder
> > > > meinetwegen über der Kreisscheibe 4 Extremwerte hat.
> > > >
> > > > Genaueres kann man nur sagen, wenn man sieht, was Du tust.
> > >
> > > Also ich habe die Funktionen:
> > > [mm]f(x,y) = xy-2y^2=0[/mm] und
> > > [mm]g(x,y)=x^2+y^2-1=0\integral_{a}^{b}{f(x) dx}\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Aus der Nebenbedingung [mm]g[/mm] hab ich mir x ausgedrückt:
> > > [mm]x=\wurzel{1-y^2}[/mm]
> > > Das hab ich in [mm]f[/mm] eingestzt:
> >
> > Hallo,
> >
> > wofür denn das?
> > Den Rand hast Du doch mit der Lagrange-Methode schon
> > untersucht.
> >
> > Es ist jetzt f(x,y) über ganz [mm]\IR[/mm] zu untersuchen, und dann
> > guckst Du, welche der ggf. erhaltenen Extremstellen auf der
> > Kreisscheibe liegen.
> >
>
> Also, um die Extremstellen zu bestimmen setze ich doch
> einfach den gradienten von [mm]f[/mm] = 0 und löse das
> Gleichungssystem:
>
> [mm]f(x,y)=xy-2y^2[/mm]
>
> [mm]f_x=y=0[/mm]
> [mm]f_y=x-4y=0[/mm]
>
> Somit bekomm ich als Lösung [mm](x,y)=(0,0)[/mm]
>
> Das bedeutet doch, dass keine Extremstellen vorhanden sind
> oder?
Die Art dieses Extermums ist erst zu charakterisieren.
>
> >
> >
> > > > > > > > > Was ist gemeint mit "Welcher Bezug besteht zu den
> > > > > > > > > Eigenvektoren bei der Hauptachsentransformation für die
> > > > > > > > > quadratische Form von [mm]f[/mm]" ?
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > Berechne zunächst diese Eigenvektoren.
> > > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Das heißt, die Funktion [mm]f[/mm] als Matrix anschreiben also:
> > > > > > > [mm]\pmat{ 0 & 2 \\
2 & -2 }[/mm]
> > > > > >
>
> > > > > > Die komplette Funktion ist das aber sicher nicht.
> > > > > >
> > > > > > Du sollst f(x,y) schreiben als
> > > > > > [mm]f(x,y)=(x,y)*Matrix*\vektor{x\\
y}.[/mm]
> > > > >
> > > > > Soll ich dazu, die Funktion auf ein vollständiges Quadrat
> > > > > ergänzen?
> > > >
> > > > Was meinst Du damit?
> > > >
> > > > Du sollst [mm]xy-2y^2[/mm] so schreiben, wie ich oben gesagt habe.
> > > > Mit einer Matrix.
> > >
> > > Das check ich wohl nicht. So wie du es geschrieben hast,
> > > komm ich ja von einer Matrix auf die quadratische Form. Die
> > > quadratische Form [mm]xy-2y^2[/mm] hab ich ja schon gegeben. [mm]xy-2y^2[/mm]
> > > ist ja gleichbedeutend mit [mm]0x^2 + 1xy-2y^2[/mm].
> > >
> > > Somit wäre doch die Matrix [mm]\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\
\bruch{1}{2} & 2 }.[/mm]
>
> >
>
> Sehe gerade das ein kleiner Vorzeichenfehler in der Matrix
> ist, so sollte sie aussehen:
> [mm]\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & -2 }[/mm]
>
> Die Eigenwerte dazu:
> [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> [mm]\lambda_2[/mm] = -2
Diese Eigenwerte stimmen nicht.
>
> Und die Eigenvektoren zu den Eigenwerten:
> [mm]\lambda_1[/mm] = 0 [mm]\rightarrow \vec{v}= \vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\lambda_2[/mm] = -2 [mm]\rightarrow \vec{v}= \vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
> Lg
>
Gruss
MathePower
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Hallo, und danke für eure Geduld!
> > Also, um die Extremstellen zu bestimmen setze ich doch
> > einfach den gradienten von [mm]f[/mm] = 0 und löse das
> > Gleichungssystem:
> >
> > [mm]f(x,y)=xy-2y^2[/mm]
> >
> > [mm]f_x=y=0[/mm]
> > [mm]f_y=x-4y=0[/mm]
> >
> > Somit bekomm ich als Lösung [mm](x,y)=(0,0)[/mm]
> >
> > Das bedeutet doch, dass keine Extremstellen vorhanden sind
> > oder?
>
>
> Die Art dieses Extermums ist erst zu charakterisieren.
>
>
Wie mach ich das bei zweidimensionalen Funktionen?
Ich bilde doch einfach die zweite partielle Ableitung oder?
Die ersten lauten:
$ [mm] f(x,y)=xy-2y^2 [/mm] $
$ [mm] f_x=y=0 [/mm] $
$ [mm] f_y=x-4y=0 [/mm] $
Und die zweiten?
$ f_xx=1=0 $
$ f_yy=4=0 $
Wie macht mans richtig? -.-
> > Sehe gerade das ein kleiner Vorzeichenfehler in der Matrix
> > ist, so sollte sie aussehen:
> > [mm]\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & -2 }[/mm]
> >
> > Die Eigenwerte dazu:
> > [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> > [mm]\lambda_2[/mm] = -2
>
>
> Diese Eigenwerte stimmen nicht.
>
Ah stimmt...
Die richtigen Eigenwerte sollten folgende sein:
[mm] $\lambda_1 [/mm] = -1 + [mm] \wurzel{\bruch{5}{4}}$
[/mm]
[mm] $\lambda_2 [/mm] = -1 - [mm] \wurzel{\bruch{5}{4}}$
[/mm]
Und die Eigenvektoren zu den Eigenwerten:
[mm]\lambda_1[/mm]
[mm]\rightarrow \vec{v}= \vektor{1 + \wurzel{\bruch{5}{4}} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
[mm]\lambda_2[/mm]
[mm]\rightarrow \vec{v}= \vektor{1 - \wurzel{\bruch{5}{4}} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
Stimmts nun? ^^
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Hallo, und danke für eure Geduld!
>
> > > Also, um die Extremstellen zu bestimmen setze ich doch
> > > einfach den gradienten von [mm]f[/mm] = 0 und löse das
> > > Gleichungssystem:
> > >
> > > [mm]f(x,y)=xy-2y^2[/mm]
> > >
> > > [mm]f_x=y=0[/mm]
> > > [mm]f_y=x-4y=0[/mm]
> > >
> > > Somit bekomm ich als Lösung [mm](x,y)=(0,0)[/mm]
> > >
> > > Das bedeutet doch, dass keine Extremstellen vorhanden sind
> > > oder?
> >
> >
> > Die Art dieses Extermums ist erst zu charakterisieren.
> >
> >
>
> Wie mach ich das bei zweidimensionalen Funktionen?
>
> Ich bilde doch einfach die zweite partielle Ableitung
> oder?
>
> Die ersten lauten:
> [mm]f(x,y)=xy-2y^2[/mm]
>
> [mm]f_x=y=0[/mm]
> [mm]f_y=x-4y=0[/mm]
>
> Und die zweiten?
>
> [mm]f_xx=1=0[/mm]
> [mm]f_yy=4=0[/mm]
>
> Wie macht mans richtig? -.-
>
Siehe: ![[]](/images/popup.gif) Hessematrix
>
>
> > > Sehe gerade das ein kleiner Vorzeichenfehler in der Matrix
> > > ist, so sollte sie aussehen:
> > > [mm]\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & -2 }[/mm]
> > >
>
> > > Die Eigenwerte dazu:
> > > [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> > > [mm]\lambda_2[/mm] = -2
> >
> >
> > Diese Eigenwerte stimmen nicht.
> >
>
> Ah stimmt...
>
> Die richtigen Eigenwerte sollten folgende sein:
> [mm]\lambda_1 = -1 + \wurzel{\bruch{5}{4}}[/mm]
> [mm]\lambda_2 = -1 - \wurzel{\bruch{5}{4}}[/mm]
>
> Und die Eigenvektoren zu den Eigenwerten:
> [mm]\lambda_1[/mm]
> [mm]\rightarrow \vec{v}= \vektor{1 + \wurzel{\bruch{5}{4}} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
>
>
> [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]\rightarrow \vec{v}= \vektor{1 - \wurzel{\bruch{5}{4}} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Stimmts nun? ^^
>
Ja.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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> Hallo dreamweaver,
>
> > Hallo, und danke für eure Geduld!
> >
> > > > Also, um die Extremstellen zu bestimmen setze ich doch
> > > > einfach den gradienten von [mm]f[/mm] = 0 und löse das
> > > > Gleichungssystem:
> > > >
> > > > [mm]f(x,y)=xy-2y^2[/mm]
> > > >
> > > > [mm]f_x=y=0[/mm]
> > > > [mm]f_y=x-4y=0[/mm]
> > > >
> > > > Somit bekomm ich als Lösung [mm](x,y)=(0,0)[/mm]
> > > >
> > > > Das bedeutet doch, dass keine Extremstellen vorhanden sind
> > > > oder?
> > >
> > >
> > > Die Art dieses Extermums ist erst zu charakterisieren.
> > >
> > >
> >
> > Wie mach ich das bei zweidimensionalen Funktionen?
> >
> > Ich bilde doch einfach die zweite partielle Ableitung
> > oder?
> >
> > Die ersten lauten:
> > [mm]f(x,y)=xy-2y^2[/mm]
> >
> > [mm]f_x=y=0[/mm]
> > [mm]f_y=x-4y=0[/mm]
> >
> > Und die zweiten?
> >
> > [mm]f_xx=1=0[/mm]
> > [mm]f_yy=4=0[/mm]
> >
> > Wie macht mans richtig? -.-
> >
>
>
> Siehe:
> Hessematrix
Ich danke dir. Die Hessematrix ist indefinit, somit liegt kein Extremwert vor.
>
>
> >
> >
> > > > Sehe gerade das ein kleiner Vorzeichenfehler in der Matrix
> > > > ist, so sollte sie aussehen:
> > > > [mm]\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & -2 }[/mm]
> >
> > >
> >
> > > > Die Eigenwerte dazu:
> > > > [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> > > > [mm]\lambda_2[/mm] = -2
> > >
> > >
> > > Diese Eigenwerte stimmen nicht.
> > >
> >
> > Ah stimmt...
> >
> > Die richtigen Eigenwerte sollten folgende sein:
> > [mm]\lambda_1 = -1 + \wurzel{\bruch{5}{4}}[/mm]
> > [mm]\lambda_2 = -1 - \wurzel{\bruch{5}{4}}[/mm]
>
> >
> > Und die Eigenvektoren zu den Eigenwerten:
> > [mm]\lambda_1[/mm]
> > [mm]\rightarrow \vec{v}= \vektor{1 + \wurzel{\bruch{5}{4}} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]\lambda_2[/mm]
> > [mm]\rightarrow \vec{v}= \vektor{1 - \wurzel{\bruch{5}{4}} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> >
> > Stimmts nun? ^^
> >
>
>
> Ja.
Ok klasse.
Aber welcher Bezug besteht nun zu den Eigenvektoren bei der
Hauptachsentransformation für die quadratische Form $f$ ?
Ich verstehs leider nicht so wirklich. Was ist damit gemeint?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> > Hallo dreamweaver,
> >
> > > Hallo, und danke für eure Geduld!
> > >
> > > > > Also, um die Extremstellen zu bestimmen setze ich doch
> > > > > einfach den gradienten von [mm]f[/mm] = 0 und löse das
> > > > > Gleichungssystem:
> > > > >
> > > > > [mm]f(x,y)=xy-2y^2[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]f_x=y=0[/mm]
> > > > > [mm]f_y=x-4y=0[/mm]
> > > > >
> > > > > Somit bekomm ich als Lösung [mm](x,y)=(0,0)[/mm]
> > > > >
> > > > > Das bedeutet doch, dass keine Extremstellen vorhanden sind
> > > > > oder?
> > > >
> > > >
> > > > Die Art dieses Extermums ist erst zu charakterisieren.
> > > >
> > > >
> > >
> > > Wie mach ich das bei zweidimensionalen Funktionen?
> > >
> > > Ich bilde doch einfach die zweite partielle Ableitung
> > > oder?
> > >
> > > Die ersten lauten:
> > > [mm]f(x,y)=xy-2y^2[/mm]
> > >
> > > [mm]f_x=y=0[/mm]
> > > [mm]f_y=x-4y=0[/mm]
> > >
> > > Und die zweiten?
> > >
> > > [mm]f_xx=1=0[/mm]
> > > [mm]f_yy=4=0[/mm]
> > >
> > > Wie macht mans richtig? -.-
> > >
> >
> >
> > Siehe:
> > Hessematrix
>
> Ich danke dir. Die Hessematrix ist indefinit, somit liegt
> kein Extremwert vor.
>
Wenn die Hessematrix indefinit ist,
dann liegt an der Stelle (0,0) ein Sattepunkt vor.
> >
> >
> > >
> > >
> > > > > Sehe gerade das ein kleiner Vorzeichenfehler in der Matrix
> > > > > ist, so sollte sie aussehen:
> > > > > [mm]\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & -2 }[/mm]
>
> > >
> > > >
> > >
> > > > > Die Eigenwerte dazu:
> > > > > [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> > > > > [mm]\lambda_2[/mm] = -2
> > > >
> > > >
> > > > Diese Eigenwerte stimmen nicht.
> > > >
> > >
> > > Ah stimmt...
> > >
> > > Die richtigen Eigenwerte sollten folgende sein:
> > > [mm]\lambda_1 = -1 + \wurzel{\bruch{5}{4}}[/mm]
> > >
> [mm]\lambda_2 = -1 - \wurzel{\bruch{5}{4}}[/mm]
> >
> > >
> > > Und die Eigenvektoren zu den Eigenwerten:
> > > [mm]\lambda_1[/mm]
> > > [mm]\rightarrow \vec{v}= \vektor{1 + \wurzel{\bruch{5}{4}} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > [mm]\lambda_2[/mm]
> > > [mm]\rightarrow \vec{v}= \vektor{1 - \wurzel{\bruch{5}{4}} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Stimmts nun? ^^
> > >
> >
> >
> > Ja.
>
> Ok klasse.
> Aber welcher Bezug besteht nun zu den Eigenvektoren bei
> der
> Hauptachsentransformation für die quadratische Form [mm]f[/mm] ?
>
> Ich verstehs leider nicht so wirklich. Was ist damit
> gemeint?
Betrachte die Lösungen der Gleichungen [mm]F_{x}, \ F_{y}[/mm] für [mm]\left(x,y\right) \not= \left(0,0\right)[/mm]
>
>
> Lg
>
Gruss
MathePower
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>
> Betrachte die Lösungen der Gleichungen [mm]F_{x}, \ F_{y}[/mm] für
> [mm]\left(x,y\right) \not= \left(0,0\right)[/mm]
>
Tut mir leid aber welche Werte soll ich da in [mm] F_x [/mm] und [mm] F_y [/mm] einsetzen? Die berechneten? Was sollen das für Lösungen sein?
Lg
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|
Hallo dreamweaver,
>
> >
> > Betrachte die Lösungen der Gleichungen [mm]F_{x}, \ F_{y}[/mm] für
> > [mm]\left(x,y\right) \not= \left(0,0\right)[/mm]
> >
>
> Tut mir leid aber welche Werte soll ich da in [mm]F_x[/mm] und [mm]F_y[/mm]
> einsetzen? Die berechneten? Was sollen das für Lösungen
> sein?
[mm]F_x = y+\lambda 2x = 0 [/mm]
[mm]F_y = x-4y+\lambda 2y = 0[/mm]
Nun, die Lösungen für [mm]\lambda[/mm] sind
die Eigenwerte der Matrix
[mm]\pmat{0 & \bruch{1} {2} \\ \bruch{1} {2} & -2}[/mm]
Und die Lösungen [mm]\left(x,y\right)[/mm] die zugehörigen Eigenvektoren.
Mit Hilfe der Nebenbedingung wird das x bzw. y näher bestimmt.
Daher sind die erhaltenen Lösungen Vielfache der Eigenvektoren.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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> Hallo dreamweaver,
>
> >
> > >
> > > Betrachte die Lösungen der Gleichungen [mm]F_{x}, \ F_{y}[/mm] für
> > > [mm]\left(x,y\right) \not= \left(0,0\right)[/mm]
> > >
> >
> > Tut mir leid aber welche Werte soll ich da in [mm]F_x[/mm] und [mm]F_y[/mm]
> > einsetzen? Die berechneten? Was sollen das für Lösungen
> > sein?
>
>
> [mm]F_x = y+\lambda 2x = 0[/mm]
> [mm]F_y = x-4y+\lambda 2y = 0[/mm]
>
> Nun, die Lösungen für [mm]\lambda[/mm] sind
> die Eigenwerte der Matrix
>
> [mm]\pmat{0 & \bruch{1} {2} \\ \bruch{1} {2} & -2}[/mm]
>
> Und die Lösungen [mm]\left(x,y\right)[/mm] die zugehörigen
> Eigenvektoren.
>
> Mit Hilfe der Nebenbedingung wird das x bzw. y näher
> bestimmt.
> Daher sind die erhaltenen Lösungen Vielfache der
> Eigenvektoren.
>
Das erschließt sich mir heute leider nicht mehr aber morgen hoffentlich.
Ich danke dir vielmals!
Lg
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